Реферат: Аксиоматика векторного пространства

Доказательство:

Рассмотрим векторы и .

Их скалярное произведение

Так как , , то, учитывая неравенство , получим .

II. Докажем, что для любых неотрицательных чисел a, b, c справедливо неравенство:

Доказательство:

Рассмотрим векторы и . Их скалярное произведение: , а длины и . Отсюда, учитывая неравенство , получаем

.

Глава 1

§1. Аксиоматика векторного пространства

Характеризация векторного пространства, как математической структуры осуществляются рядом аксиом.

Основные понятия теории: "вектор", "сумма двух векторов", "произведение вектора на действительное число".

Косвенным определением основных понятий теории векторного пространства являются следующие аксиомы:

I. Для любых векторов и существует единственный третий вектор , называемый их суммой

Таким образом аксиома I постулирует:

а) единственность этой суммы.

б) существование суммы двух векторов и ;

Данная аксиома вводит на множестве векторов V операцию

f₁: V x V  V.

которая называется сложением двух векторов.

II. Сложение векторов коммутативно, т.е.

.

III. Сложение векторов ассоциативно, т.е.

IV. Существует вектор такой, что для любого вектора, т.е.

Определение 1.1. Вектор , удовлетворяющий аксиоме IV, называется нулевым вектором и обозначается

V. Для каждого вектора существует такой вектор , что +=