Реферат: Алгебраические уравнения с одной неизвестной и способы их решения в основной школе

Очевидно, что корень уравнения принадлежит ОДЗ этого уравнения.

Решить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.

Например, уравнение имеет единственный корень ; уравнение не имеет корней во множестве R: для любого действительного числа всегда .

Определение. Два уравнения называются равносильными (эквивалентными), если всякий корень одного уравнения является корнем другого, и наоборот. Если оба уравнения не имеют корней (решений), то они также считаются равносильными. [20, c.34]

Иначе говоря, равносильными называются уравнения, множества корней которых совпадают.

Если уравнения и равносильны, то пишут .

Например, ; , так как эти уравнения не имеют действительных корней. Ясно, что уравнения и неравносильны.

При решении уравнения путем различных преобразований стараются заменить его более простым, равносильным ему уравнением. Однако та­кая замена не всегда удается. Тогда возможны следующие два случая:

1. При переходе к новому уравнению может произойти потеря корней. Например, при переходе от уравнения к уравнению сокращением на неизвестное происходит потеря корня . Поэтому при переходе к новому уравнению надо учитывать возможность потери корня данного уравнения.

2. Новое уравнение может содержать корни, не являющиеся корнями
данного уравнения (так называемые посторонние корни). Например, при переходе от уравнения к уравнению возведением в квадрат обеих частей исходного уравнения получим - посторонний корень этого уравнения. Поэтому часто делают проверку кор­ней, подставив их в данное уравнение.

Напомним, что числовые равенства обладают следующими свойствами:

1) числовое равенство не нарушится, если к обеим его частям прибавить
одно и то же число;

2) числовое равенство не нарушится, если обе его части умножить или
разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Из свойств числовых равенств и понятия равносильных уравнений вытекают следующие основные свойства уравнений:

1) Уравнение , (1) равносильно уравнению , (2) где - число или некоторое выражение, имеющее смысл на множестве допустимых значений (т.е. на ОДЗ) уравнения .

Доказательство:

Обозначим через множество решений уравнения (1), а через множе­ство решений уравнения (2). Тогда уравнения (1) и (2) будут равносильны, если . Но чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень из является корнем уравнения (2) и, наоборот, любой корень из является корнем уравнения (1).

Пусть число - корень уравнения (1). Тогда и при подстановке в уравнение (1) обращает его в истинное числовое равенство , а выражение обращает в числовое выражение . Прибавим к обеим частям истинного равенства числовое выражение . Получим согласно свойствам истинных числовых равенств истин­ное числовое равенство .

Но это равенство говорит о том, что число является также и корнем уравнения (2).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (1) является корнем и уравнения (2), т.е. .

Пусть теперь - корень уравнения (2). Тогда и при подстановке в уравнение обращает его в истинное числовое равенство .

Прибавим к обеим частям этого равенства числовое выражение . Получим истинное числовое равенство , которое говорит о том, что число - корень уравнения (1).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является и кор­нем уравнения (1), т.е. .

Так как и , то по определению равных множеств , а значит, уравнения (1) и (2) равносильны, ч.т.д.

Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

Например, .

2) Уравнение равносильно уравнению , где - число или некоторое выражение, имеющее смысл на множестве допустимых зна­чений уравнения и не обращающееся на нем в нуль.

Доказательство этого свойства аналогично доказательству свойства 1.

Следствие. Обе части уравнения можно сокращать на общий множитель, не обращающийся в нуль на множестве допустимых значений
данного уравнения.

Действительно, уравнение , т.е.