Реферат: Алгебраические уравнения с одной неизвестной и способы их решения в основной школе

3) Уравнение равносильно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений исходного уравнения или на своем множестве при дополнительном условии , .

Эти свойства используются при решении уравнений. [5, c.116]

§2. Линейные уравнения.

Определение. Уравнением первой степени с одним неизвестным называется уравнение вида , где - заданные числа, причем , а - неизвестное.

При этом число называется коэффициентом при неизвестном ,

чис­ло - свободным членом уравнения.

Это уравнение равносильно уравнению , из которого получаем, что . Таким образом, уравнение первой степени всегда имеет единственный корень .

Уравнение первой степени является частным случаем линейного уравнения , где - заданные числа, а - неизвестное.

Линейное уравнение сводится к равносильному ему уравнению вида , где и - известные числа. При этом число - коэффициент при неизвестном , может оказаться равным нулю, в отличие от коэффи­циента при неизвестном в уравнении первой степени.

Может оказаться, что линейное уравнение не имеет корней или имеет бесконечное множество корней. [5, с.118]

Пример 1. Показать, что уравнение не имеет корней.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению

или .

Это уравнение не имеет корней, так как левая часть равна нулю при любом , а значит, не равна 3. [1, c.34]

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение содержит параметр (переменную, которая в условии данной задачи сохраняет одно и то же значение).

Если , то , т.е. - единственный корень уравнения. Если , то уравнение принимает вид и его корнем являет­ся любое действительное число . [1, c.35]

Пример 3. Решить уравнение

.

Решение.

1) После приведения дробей к общему знаменателю получим линейное уравнение , равносильное исходному, при условии, что , т.е. , .

2) После приведения подобных членов и сведения полученного уравнения к стандартному для линейного уравнения виду имеем , (*)

3) а) Если , то . Теперь необходимо исключить те значения параметра , при которых найденное значение равно , чего не может быть по области определения (ОДЗ) исходного уравнения. Приравняем дробь к :

, , .

Таким образом, при полученное в результате преобразования линейное уравнение имеет корень , посторонний для исходного уравнения.

б) Если , то уравнение (*) примет вид или - неверное равенство, т.е. уравнение (*) не имеет корней.

Вообще, если уравнение не имеет корней, то говорят также, что множество корней уравнения пустое, и обозначают Ø.

Ответ. 1) При , и уравнение имеет единственное решение ;

2) при данное уравнение не имеет смысла;

3) при и нет решений.

Ответ можно записать короче: