Реферат: Арифметические основы ЦВМ

В повседневной практике для представления чисел люди пользуются почти исключительно десятичной системой счисления. Лишь в редких случаях встречаются остатки других систем - римский счет, двенадцатиричная система (часы), шестидесятиричная (минуты).

Однако система изображения чисел, которая веками складывалась применительно к ручному труду, не позволяет получить наиболее эффективные методы выполнения вычислений. По этой причине в вычислительной технике применяются другие системы счисления и чаще всего - двоичная.

Введем несколько определений.

Cистема счисления - совокупность символов и правил для обозначения чисел.

Разделяют системы счисления позиционные и непозиционные. Непозиционная система счисления задается перечислением изображаемых в ней значений. Позиционная система счисления характеризуется основанием и тем, что числа, как правило, представляются несколькими разрядами (являются многоразрядными), а вес любого разряда определяется его позицией в числе.

Oснование позиционной системы счисления определяет количество различных цифр (символов), допустимое в системе счисления. Это же число определяет, во сколько раз вес цифры данного разряда меньше веса цифры соседнего старшего разряда.

Так, в десятичной системе счисления, основание которой равно 10, различают 10 арабских цифр - 0, 1, 2, ..., 9. Следовательно, при ее использовании для записи числа, не превышающего девяти, достаточно одной цифры, и такое число записывается как одноразрядное. А в случае записи числа, большего девяти, оно представляется как многоразрядное. При этом вес каждого более старшего (расположенного слева от текущего) разряда в десять (основание системы счисления) раз больше текущего.

Так, например, число 359 - трехразрядное, и в нем 9 - цифра разряда единиц, 5 - цифра разряда десятков, 3 - цифра разряда сотен (в 10 раз превышает вес разряда десятков). При этом значение трехразрядного числа 359 получается суммированием трех слагаемых : 3 сотни + 5 десятков + 9 единиц.

Общее правило определения веса разряда многоразрядного числа таково:

Если пронумеровать разряды целого числа справа налево, начиная от 0 для разряда единиц, то вес любого разряда получается возведением основания системы счисления в степень, значение которой равно номеру разряда.

Так, вес самого младшего разряда целых чисел равен 1, поскольку номер разряда равен 0, а любое число, в том числе и число 10, возведенное в нулевую степень, дает в результате единицу. Вес следующего слева разряда равен 10 в степени 1, т.е. равен десяти, и т.д.

Это же правило справедливо и для записи дробных чисел. При этом разрядам справа от разряда единиц, имеющего номер 0, присваиваются отрицательные значения: -1, -2, и т.д., а их веса получаются также при возведении основания 10 в соответствующую степень. Так, например, вес третьего разряда в дробной части числа 42,9724 будет равен 10 в степени (-3), т.е. равен одной тысячной.

Указанное правило можно проиллюстрировать следующим образом:

Число	7	5	0	6	8	, 2	5	9
Номер разряда	4	3	2	1	0	-1	-2	-3
Вес разряда	10000	1000	100	10	1	0,1	0,01	0,001

Как видно из примера, в позиционной системе счисления достаточно знать значение основания системы счисления, символы, изображающие отдельные цифры, и указанное правило, чтобы представить любое число.

В вычислительной технике широко применяют двоичную, восьмеричную и шестнадцатиричную систему счисления.

Двоичная система счисления имеет основание 2, и, следовательно, две разных цифры - 0 и 1; восьмеричная - восемь разных цифр - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, а шестнадцатиричная - шестнадцать цифр - десять арабских цифр от 0 до 9 и еще шесть символов -

А (цифра, изображающая десять), D (цифра тринадцать),

В (цифра одиннадцать), E (цифра четырнадцать),

С (цифра двенадцать), F (цифра пятнадцать).

Проще всего сопоставить запись одних и тех же чисел в этих системах счисления можно с использованием таблицы 1, приведенной на следующей странице.

Мы уже говорили о том, что современные цифровые ЭВМ все используют в качестве основной двоичную систему счисления. К ее достоинствам относится:

· простота выполнения арифметических и логических операций, что влечет за собой простоту устройств, реализующих эти операции;

· возможность использования аппарата алгебры логики (булевой алгебры) для анализа и синтеза операционных устройств ЭВМ.

К неудобствам двоичной системы счисления относится необходимость перевода чисел из десятичной в двоичную и наоборот, а также то, что запись числа в двоичной системе громоздка (требует большего числа разрядов, чем привычная для человека десятичная). По этой и ряду других причин, кроме двоичной применяются восьмеричная и шестнадцатиричная системы счисления.

Таблица 1.1

С и с т е м а с ч и с л е н и я
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	0 1	2	2
3	1 1	3	3
4	1 0 0	4	4
5	1 0 1	5	5
6	1 1 0	6	6
7	1 1 1	7	7
8	1 0 0 0	1 0	8
9	1 0 0 1	1 1	9
10	1 0 1 0	1 2	A
11	1 0 1 1	1 3	B
12	1 1 0 0	1 4	C
13	1 1 0 1	1 5	D
14	1 1 1 0	1 6	E
15	1 1 1 1	1 7	F
16	1 0 0 0 0	2 0	1 0

Совместное использование указанных систем обусловлено двумя причинами:

· в восьмеричной и шестнадцатиричной системах любое число записывается более компактно, нежели двоичное;

· простотой преобразования из двоичной в восьмеричную (шестнадцатирич-ную) систему счисления и наоборот.

Приведем правила перевода чисел из двоичной системы в восьмеричную (шестнадцатиричную) и наоборот.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--