Реферат: Численное решение краевых задач для двумерного уравнения колебания

Отсюда имеем

т.е. первый порядок аппроксимации. Для сходимости рассмотрим решение задачи для

Множитель при . Выражая через , имеем

Отсюда , т.е. схема имеет первый порядок точности. Таким же образом можно показать, что схема с весом

имеет первый порядок аппроксимации и при выполнении условий ус­тойчивости имеет место сходимость и притом порядок точности совпа­дает с порядком погрешности аппроксимации[4].

§2. Основные понятия и история вопроса

экономичных разностных схем

1. Одним из основных критериев оптимальности в теории чис­ленных методов является требование минимума арифметических опе­раций.

Для одномерных задач математической физики особых затруд­нений в этом плане нет. Разностные схемы в этом случае реализу­ются экономичным алгоритмом прогонки, который на слое сетки допускает количество арифметических операций про­порциональное количеству узлов.

Особую остроту приобретает вопрос об экономичности вычис­лительных алгоритмов в численном решении многомерных задач ма­тематической физики. Многомерные краевые задачи моделировать многомерными разностными схемами и решать непосредственно эти схемы нецелесообразно, так как алгоритм становится сложным, не­экономичным и нереализуемым на ЭВМ.

Пусть в цилиндре ищется решение уравнения (2.1)

удовлетворяющее условиям

(2.2)

(2.3)

где -мерный единичный куб, - боковая поверхность .

Задачу (2.1)-(2.3) моделируем разностной схемой с весом: (2.4)

где - вещественный параметр.

Разностное уравнение запишем в операторном

где Е - единичный_ оператор.

Нахождение при требует обращения многомерного оператора, что связано с весьма трудоемкой вычислительной работой, поскольку соответствующая этому опера­тору матрица порядка не имеет специального вида. Обраще­ние такой матрицы производится по методу Гаусса, что требуетарифметических операций или методом итераций, кото­рый также требует много машинного времени. По этой причине не­посредственное решение схемы (2.4)-(2.6) даже при нецеле­сообразно, так, как возникают серьезные проблемы памяти ЭВМ и резко возрастает количество арифметических операций на слое сеткой. Схема может оказаться нереализуемой на современных ЭВМ.

Если в уравнении (2.4) , то получаем явную схему

которую перепишем в виде