Реферат: Численное решение краевых задач для двумерного уравнения колебания

- центральная разностная производная. (1.5)

Можно взять их линейную комбинацию

,(1.6)

где - вещественный параметр.

При =1 из (1.6) получаем аппроксимацию (1.3); при =0 - аппроксимацию (1.4), а при =0.5 - аппроксимацию (1.5).

Чтобы показать погрешность аппроксимации, разложим по фор­муле Тейлора

, (1.7)

предполагая, что функция v(x) достаточно гладкая в некоторой окрест­ности

(х- h_o ,x + h₀ ) точки х, h<h₀ , h₀ - фиксированное число.

Подставляя это разложение в (1.3), (1.4), (1.5), получим:

Отсюда видно, что

Пусть L - дифференциальный оператор, L_h - разностный оператор, заданный на сетке w_h . Говорят, что разностный оператор L_h :

1)аппроксимирует дифференциальный оператор L в узле, если, где v(x) - достаточно гладкая функция, стремится кнулю при ;

2) аппроксимирует L с порядком n>0 в узле если , т.е.

, M = const>0.

В качестве следующего примера рассмотрим оператор Lv = v"(x).

Для аппроксимации этого оператора используем трехточечный шаблон (x-h, х, x+h).

Замечая, имеем

Отсюда

Пользуясь разложением (1.7), покажем, что порядок аппроксима­ции равен двум, т.е.