Реферат: Численное решение краевых задач для двумерного уравнения колебания

Для построения разностной схемы необходимо построить сетку G_h -конечное множество точек, принадлежащих G, плотность распределе­ния которых характеризуется параметрами h - шагом сетки. Пусть об­ласть изменения аргумента х есть отрезок. Разобьем этототрезок точками на n равных частей длины каждая. Множество точек называется равномернойсеткой на отрезке и обозначим , а число h -расстояние между точками (узлами) сетки называется шагом сетки. Разбиение отрезка точками можно производить произвольным образом -. Тогда получаем сетку с шагами , которое зависит от номера узла сетки. Если хотя бы в одной точке, то сетка называется неравномерной и такую сетку обозначают . Точки х₀ и х_n назовем граничными узлами и обозначим их. Остальные узлы назовем внутренними и обозначим их w_h . Узлы соседние с гранича­щими назовем приграничными. Тогда имеем [4].

1.2. Сеточная функция. Пространство сеточных

функций. Нормы сеточных функций

Функция y=y(x_i ) дискретного аргумента х_i называется сеточной функцией, определенной на сетке . Сеточные функции можнорассматривать как функции целочисленного аргумента, являющегося номером узла сетки, т.е.. Далее мы будем писать .

Сеточная область w_h зависит от параметра h. При различных значениях параметра h имеем различные сеточные области. Поэтому и сеточные функции y_h (x) зависят от параметра h.

Функции u(х) непрерывного аргумента являются элементами функ­ционального пространства H. Множество сеточных функций y_h (x) образует пространство H_h . Таким образом, в методе сеток простран­ство Н, заменяется пространством H_h сеточных функций y_h (x).

Так как рассматривается множество сеток {w_h }, то мы получаем множество {H_h }пространств сеточных функций, определенных на {w_h }.

Пусть u(х) - решение исходной непрерывной задачи (1.1), uH; y_h -решение разностной задачи. y_h H_h . Для теории приближенных вычис­лений представляет большой интерес оценка близости u(х) и y_h (x), но u(х) и y_h (х) являются элементами из различных пространств. Прост­ранство Н отображается на пространство H_h . Каждой функции u(х)Н ставится в соответствие сеточная функция y_h (x), х w_h , так что y_h =P_h u Н_h , где P_h - линейный оператор из Н в H_h . Это соответствиеможно осуществить различными способами, т.е. зависит от выбора оператора P_h . Теперь, имея сеточную функцию u_h , образуем разность y_h -u_h , которая является вектором пространства H_h Близость y_h и u_h , характеризуется числом , где - норма на H_h .

Соответствие функций u(х) и u_h можно установить различными спо­собами, например,

u_h =u(x), х w_h .

В дальнейшем мы будем пользоваться этим способом соответствия.

В линейном пространстве H_h введем норму , которая являетсяаналогом нормы || • ||_н в исходном пространстве Н. Обычно принятовыбирать норму в пространстве H_h так, чтобы при стремлении к нулю h она переходила в ту или иную норму функций, заданных на всем отрезке, т.е. чтобы выполнялось условие

, (1.2)

где - норма в пространстве функций, определенных на отрезке,

которому принадлежит решение.

Условие (1.2) называют условием согласования в пространствах H_h , и Н.

Рассмотрим простейшие типы норм в H_h для случая сеток w_h ={x_i =ih} на отрезке .

1.Норма

удовлетворяет условию (1.2), если в качестве Н рассматривать прост­ранство непрерывных функций с нормой

а сеточную функцию определять в виде (1.2), т.е.

2.Норма

удовлетворяет условию (1.2), если за Н принять пространство непре­рывных функций с нормой

а сеточную функцию определять в виде

[4, 6].

1.3. Аппроксимация дифференциальных операторов

Пусть имеем дифференциальный оператор . Этот операторможно аппроксимировать несколькими способами. Например,