Реферат: Численное решение краевых задач для двумерного уравнения колебания

Отсюда имеем

Рассмотрим фиксированную точку и выберем последовательность сеток таких, чтобы , т.е. является узлом сетки при

Вычислим значение у в этой точке .Taк как при и любых h, то при любом h. Из этого нера­венства видно, что решение разностной схемы (1.19) непрерывно зависит от входных данных. В таких случаях говорят, что разностная схема устойчива по входным данным (по начальным условиям и по правой части).

Пример 2. Имеем уравнение

. (1.20)

Точным решением задачи (1.20) является функция

.

Отсюда следует неравенство

|u(x)||u_o |(1.21)

при .

Для устойчивости вычислительных алгоритмов решения задачи (1.20) должно быть выполнено условие вида (1.21), т.е.

(1.22)

Задачу (1.20) аппроксимируем явной схемой Эйлера

(1.23)

y(0)=u(0).

Выражая решение схемы (1.23) через начальное условие, имеем

Неравенство (1.22) будет выполнено, если

т.е. .

Таким образом, явная схема Эйлера условно устойчива.

Пример 3 . Для численного решения задачи (1.20) используем неявную схему Эйлера

Отсюда

т.е.

при .