Реферат: Численное решение краевых задач для двумерного уравнения колебания

1.4. Разностная схема

Как правило, дифференциальное уравнение решается с некоторыми дополнительными условиями - начальными (задача Коши), краевыми (краевая задача) либо и с начальными, и с краевыми условиями(смешанные задачи). Эти дополнительные условия при переходе к разностным уравнениям надо также аппроксимировать.

Пусть имеем некоторую дифференциальную задачу, записанную в виде

Lu = f(x), xG(1.8)

с дополнительным условием

lu = (х), хГ.(1.9)

Введем в области сетку

и поставим в соответствие задаче (1.8), (1.9) разностную задачу
L_h y_h =f_h , xw_h ,(1.10)

, xy_h .(1.11)

Функции У_h (х), f_h (x), зависят от шага сетки. Меняя h, получаем множества функций , зависящих от параметра h. Таким образом, мы рассматриваем не одну разностную задачу, а семейство задач, зависящее от параметра h. Это семейство задач называется разностной схемой.

Рассмотрим примеры разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные задачи.

Пример 1 . Имеем задачу Коши

Используем аппроксимации:

После этого имеем разностную схему:

Расчетный алгоритм имеет вид

Пример 2. Рассмотрим задачу Коши

Воспользуемся следующими аппроксимациями: