Реферат: Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Δ = [1*(-4)*(-2)+2*2*1+(-1)*(-1)*(-1)]-[1*(-4)*(-1)+2*(-1)*(-2)+2*(-1)*1] = [8+4-1]-[4+4-2] = 11-6 =5,

т. е. Δ ≠ 0.

Т. е. система определена и разрешима. Решим ее по методу Гаусса.

Проведем прямой ход метода Гаусса, выписав предварительно расширенную матрицу системы:

Получим нули под главной диагональю в первом столбце расширенной матрицы. Для получения нуля в элементе a21 (т. е. под диагональю во второй строке матрицы) вторую строку матрицы преобразуем по формуле C₂ -(a₂₁ /a₁₁ )*C₁ = C₂ -(2/1)*C₁ = C₂ -2*C₁ :

Аналогично поступаем и с элементом а31 (т. е. под диагональю в третьей строке матрицы). Третью строку матрицы преобразуем по формуле C₃ -(a₃₁ /a₁₁ )*C₁ = C₃ -(-1/1)*C₁ = C₃ +C₁ :

Таким образом, мы получили нули под главной диагональю в первом столбце расширенной матрицы. Осталось получить нуль под главной диагональю во втором столбце матрицы, т. е. на месте элемента а32. Для этого третью строку матрицы преобразуем по формуле C₃ -(a₃₂ /a₂₂ )*C₂ = C₃ -(1/-2)*C₂ = C₃ +1/2C₂ :

Таким образом, проведя прямой ход метода Гаусса , мы получили расширенную матрицу системы, приведенную к верхне-треугольному виду:

Эта матрица эквивалентна системе:

Обратным ходом метода Гаусса найдем корни системы. Из последнего уравнения найдем корень х₃ :

-5/2x₃ = 3/2,

x₃ = (3/2):(-5/2) = 3/2*(-2/5) = -3/5.

Корень x₃ = -3/5 найден. Подставим его в верхнее (второе) уравнение системы (-2x₂ -3x₃ = 1):

-2x₂ -3(-3/5) = 1,

-2x₂ +9/5 = 1,

-2x₂ = 1-9/5,

-2x₂ = -4/5,

x₂ = (-4/5):(-2) = (-4/5)*(-1/2) = 2/5.

Корень x₂ = 2/5 найден. Подставим его и корень х₃ в верхнее (первое) уравнение системы (x₁ -x₂ +x₃ = 0):

x₁ -2/5+(-3/5) = 0,

x₁ -5/5 = 0,

x₁ = 5/5 = 1.

Проверка: