Реферат: Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

т. е.

т. е.

и т. д [9].

Вывод: Итак, метод Гаусса (или, иначе, метод последовательного исключения неизвестных) состоит в следующем:

1. Путем элементарных преобразований систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с верхнее - треугольной матрицей. Эти действия называют прямым ходом.

2. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

3. При этом все преобразования проводятся над так называемой расширенной матрицей системы, которую и приводят к верхнее - треугольному виду в прямом ходе метода.

1.3 Итерация для линейных систем

Способ итераций дает возможность получить последовательность приближенных значений, сходящихся к точному решению системы, подобно тому, как это делается для одного уравнения.

Для определенности ограничимся системой из четырех уравнений с четырьмя неизвестными (система четвертого порядка), которую запишем в виде:

Разрешим первое уравнение системы относительно х₁ :

х₁ = (-a₁₂ /a₁₁ )х₂ -a₁₃ /a₁₁ х₃ -a₁₄ /a₁₁ х₄ -a₁₅ /a₁₁ .

Затем разрешим второе уравнение относительно х₂ и т. д. Тогда систему можно переписать в виде:

гдеα = -a_ik /a_ii , i = 1, 2, 3, 4; k = 1, 2, 3, 4, 5.

Система является частным случаем записи вида:

При этом линейная функция L₁ фактически не зависит от х₁ .

Зададим какие-либо начальные значения неизвестных (нулевые приближения):

х₁ ⁽⁰⁾ , х₂ ⁽⁰⁾ , х₃ ⁽⁰⁾ , х₄ ⁽⁰⁾ .

Подставляя эти значения в правые части системы (*), получим первые приближения:

Полученные первые приближения могут быть так же использованы для получения вторых, третьих и т. д. приближений. Т. е. можно записать:

Условия сходимости итерационного процесса.

Установим условия, выполнение которых обеспечит сходимость получающихся приближений к истинному (точному) решению системы х₁ , х₂ , х₃ , х₄ .