Математика / Реферат: Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Реферат: Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Если В = Е — единичный оператор, то метод(8) называют явным: yh +1 находится по явной формуле

В общем случае, при В≠ Е, метод (7) называют не­явным итерационным методом: для определения yh +1 надо решить уравнение:

(9)

Естественно требовать, чтобы объем вычислений для ре­шения .системы Byk +1 = Fk был меньше, чем объем вы­числений для прямого решения системы Au=f

Точность итерационного метода (7) характеризуется величиной погрешности zh = ук — и, т. е. разностью между решением уравнения (7) и точным решением и исход­ной системы линейных алгебраических уравнений. Под­становка yk = zk + u в (2) приводит к однородному урав­нению для погрешности:

§2 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

2.1 Общие сведения

К численным методам линейной алгебры относятся численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Методы решения СЛАУ разбиваются на две группы. К первой группе принадлежат так называемые точные или прямые методы - алгоритм, позволяющий получить решение системы за конечное число арифметических действий. Вторую группу составляют приближенные методы, в частности итерационные методы решения СЛАУ.

2.2.1 Описание метода

Рассмотрим СЛАУ вида

Ax = B, где А - матрица. (1)

A = {aij }i, j = 1…n

B = {bi }x = {xi }

Если эту систему удалось привести к виду x = Cx + D, то можно построить итерационную процедуру

xk = Cxk -1 + D

xk → x*, где х* - решение заданной системы.

В конечном варианте система будет имееть вид:

x1 =c11 x1 +c12 x2 +c13 x3 +…c1n xn +d1

x2 =c21 x1 +c22 x2 +c23 x3 +…c2n xn +d1

x3 =c31 x1 +c32 x2 +c33 x3 +…c1n xn +d3

…………………………………………. .

xn =cn1 x1 +cn2 x2 +cn3 x3 +…cnn xn +dn

Условием сходимости для матрицы С выполняется, если сумма модулей коэффициентов меньше единицы по строкам или по столбцам, т.е.

, или .

Необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы А были ненулевыми.

Для преобразования системы можно выполнить следующие операции:

x1= a11 -1 (c1 -a12 x2 - a13 x3 -… - a1n xn )

x2= a22 -1 (c2 -a21 x2 - a23 x3 -… - a2n xn )

………………………. .

xn= ann -1 (cn -an1 x2 - an3 x3 -… - an-1n xn-1 )

К-во Просмотров: 482
Бесплатно скачать Реферат: Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений