Реферат: Численные методы

У результаті одержимо наступну систему рівнянь:

x1+c12x2+...+c1jxj+...+c1mxm =y1 ,

(1) (1) (1) (1)

a22x2+... +a2jxj+...+a2mxm=f2 ,

............................................ (5)

(1) (1) (1) (1)

am2x2+...+amjxj+...+ammxm=fm .

Tут позначено:

(1) (1)

aij=aij-c1jai1; fi=fi -y1ai1; i,j=2,m . (6)

Матриця системи (5) має вигляд:

.

Матриці такої стуктури заведено позначати так:

де хрестиками позначені ненульові елементи.

У системі (5) невідоме х міститься тільки в першому рівнянні, тому у подальшому достатньо мати справу із скороченою системою рівнянь:

(1) (1) (1) (1)

a22x2 +...+a2jxj +...+a2mxm =f2 ,

.............................................. (7)

(1) (1) (1) (1)

am2x2 +...+amjxj +...+ammxm =fm .

Тим самим ми здійснили перший крок методу Гаусса . Коли , то з системи (7) зовсім аналогічно можна вилучити невідоме x2 і прийти до системи, еквівалентній (2),що має матрицю такої структури:

При цьому перше рівняння системи (5) залишається без зміни.

Вилучая таким же чином невідомі х 3, х4 ,... ,x m-1 , приходимо остаточно до системи рівнянь виду:

x1 +c12x2 +...+c1,m-1xm-1+c1mxm =y1,

x2 +...+c2,m-1xm-1+c2mxm =y2 ,

................................

xm-1+cm-1,mxm=ym-1,