Математика / Реферат: Численные методы

Реферат: Численные методы

МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ.

Розглянемо чисельні методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Ax=f T (1)

де A - матриця m*m, x = ( x1, x2 , ... ,xm ) - шуканий вектор,

f =(f1, f2, ... , fm) -заданий вектор.

Припускаємо, що та визначник матриці А відмінний від нуля, так що існує єдиний розв’язок х. З курсу алгебри відомо, що систему (1) можна розв’язати за формулами Крамера*. Для великих m цей спосіб практично нереалізований тому, що потребує порядку m! aрифметичних дій. Тому широко використовуються інші методи розв’язання, наприклад, метод Гаусса**, який потребує дій.

Методи чисельного розв’язання системи (1) поділяються на дві групи:

-прямі методи;

-ітераційні методи.

У прямих (або точних) методах розв’язок x системи (1) відшукується за скінченну кількість арифметичних дій. Внаслідок похибок заокруглення прямі методи насправді не приводять до точного розв’язку системи (1) і назвати їх точними можливо лише залишаючи осторонь похибки заокруглення.

Ітераційні методи (їх також називають методами послідовних наближень) полягають у тому, що розв’язок x системи (1) відшукується як границя при послідовних наближень де n- номер ітерації. Як правило, за скінченну кількість ітерацій ця границя не досягається.