Реферат: Численные методы

що еквівалентна початковій системі (2) .

Матриця цієї системи

містить нулі усюди нижче головної діагоналі. Матриці такого виду називаються верхніми трикутними матрицями. Нижньою трикутною матрицею називається така матриця, у якої дорівнюють нулю усі елементи, що містяться вище головної діагоналі.

Побудова системи (8) складає прямий хід методу Гаусса. Зворотнiй хід полягає у відшуканні невідомих х1, ... ,хm з системи (8). Тому що матриця системи має трикутний вигляд, можна послідовно, починаючи з хm, відшукати всі невідомі. Дійсно, xm=ym,

x m-1 =ym-1 -cm-1,m x m i т. д.

Загальні форми зворотнього ходу мають вигляд:

m

xi =yi - е cijxj ; i=m-1,1; xm =ym . (10)

j=i+1

При реалізації на ЕОМ прямого ходу методу Гаусса немає необхідності діяти із змінними x1 ,x2 ,... ,xm. Досить вказати алгоритм,за яким початкова матриця А перетворюється до трикутного вигляду (9), та вказати відповідне перетворення правих частин системи.

Одержимо ці загальні формули.

Нехай вже здійснені перші к-1 кроків, тобто вже вилучені змінні

x1 , x2,..., xk-1 .

Тоді маємо систему:

x1+c12 x2 +...+c1,k-1xk-1+ c1kxk+....+c1mxm =y1 ,

x2 +...+c2,k-1xk-1+ c2kxk+....+c2mxm =y2 ,

..............................................

xk-1+ck-1,kxk+...+ck-1,mxm=yk-1 , (11)

(k-1) (k-1) (k-1)

akkxk+...+akmxm =fk ,

............................

(k-1) (k-1) (k-1)

amkxk+...+ammxm =fm .

Розглянемо К-те рівняння цієї системи:

(k-1) (k-1) (k-1)

akkxk+...+akmxm=fk ,

та припустимо, що . Поділивши обидві частини цього рівняння на , одержимо

xk+ck,k+1xk+1+...+ckmxm=yk , (12)