Реферат: Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Тогда наша система перепишется в виде

В дальнейшем будем рассматривать систему из n уравнений первого порядка в виде

Эта система называется нормальной (канонической) системой дифференциальных уравнений. Эту систему будем записывать в векторной форме:

Тогда данная система будет представлена в виде:

Решением этой системы на интервале G называется совокупность n функций xi=xi(t), определенных на интервале G и таких, что подстановка их в эту систему обращает каждое ее уравнение в тождество на всем интервале G.

Если вектор-функция не зависит явно от времени t, то эта система называется автономной (стационарной).

2.3. Задача Коши

Начальной задачей или задачей Коши для системы

называется следующая задача. Найти решение системы дифференциальных уравнений, определенное на некотором интервале G, содержащем точку t0, и удовлетворяющее условиям:

причем t0, xi0 (i=1, 2,…, n) называются начальными значениями для решения x1(t), …, xn(t), а эти условия – начальными условиями. Если ввести в рассмотрение (n+1)-мерное пространство с координатами t, x1,…, xn, то совокупность n функций xi=xi(t) будет представлять линию в n-мерном пространстве. Начальные значения t0, x10,…, xn0 представляют собой точку в этом пространстве.

2.4. Свойства дифференциальных уравнений

Пусть имеется нормальная система дифференциальных уравнений в векторной форме

(1)

Общим решением системы (1) в области G называется совокупность n функций xi=xi(t,c1,…,cn), i=1,2,…,n. Будем говорить, что функция f(t,x1,…,xn) удовлетворяет условию Липшица в области G по переменным x1,…,xn, если существует такое постоянное число L>0, что для любой пары точек (t,x1,…,xn) и (t, xs1,…,xsn), принадлежащих G, выполняется неравенство

Пусть в системе (1) функции fi(t, x) непрерывны по t и удовлетворяют условию Липшица по x1,…,xn в некоторой области G. Тогда существует и притом единственное решение xi=xi(t), I=1,2,…n системы (1), удовлетворяющее начальным условиям xi(t0)=xi0, определенное на отрезке K, содержащем точку t0.

Теорема утверждает существование единственного решения на отрезке K, содержащем точку t0. Однако, это решение может быть продолжено за пределы отрезка K вплоть до границы области G.

Если функция f(t, x1, ..., хn) имеет ограниченные частные производные по xi в выпуклой области G, то эта функция удовлетворяет условию Липшица.

2.5. Ломаная Эйлера и e -приближенное решение

Рассмотрим систему уравнений

(2)

причем будем полагать, что эта система удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

Совокупность n функций z1(t), ..., zn(t) называется e -приближенным решением системы (2) на отрезке А, если каждая из этих функций непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и