Реферат: Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Линейной системой дифференциальных уравнений называется такая система уравнений, в которую неизвестные функции и их производные могут входить только в первой степени.

Нормальная линейная система дифференциальных уравнений имеет вид

Введем в рассмотрение векторные функции

Тогда систему (1) можно переписать в виде

Теорема существования и единственности справедлива для линейной системы на любом отрезке [а1 ,b1]Ì(а, b), где (a, b) - интервал, на котором функции aik(t) и fi(t) непрерывны.

2.7.2. Общее решение линейной однородной системы

Система (1) называется однородной, если fi(t)º0 (i=1, 2, …, n). Однородная система в векторной форме запишется в виде

(3)

Совокупность S всех решений {x(t)} образует линейное пространство размерности n, так как решения этой системы являются линейно-независимыми и образуют базис. Любой элемент этого пространства представим в виде

(4)

причем постоянные c1, c2, …, cn определяются однозначно. Отсюда следует, что любое решение данной системы может быть представлено в виде (4). Поэтому выражение (4) называется общим решением системы (3). Любая система из n линейно-независимых решений системы (3), образующая базис пространства S, называется фундаментальной системой решений.

2.7.3. Определитель Вронского. Формула Лиувилля

Пусть имеется некоторая система из n векторных функций

Тогда определителем Вронского, или вронскианом, называется определитель, составленный из компонент этих векторных функ­ций. Таким образом, определитель Вронского имеет вид

Если система векторных функций x1(t), ..., хn(t) линейно-зависима, то определитель Вронского W(t)=0.

Пусть вектор-функции x1(t), ..., xn(t) представляют собой n решений системы (3). Тогда, если определитель Вронского W(t) для этих решений обращается в ноль в какой-нибудь точке t0Î[а, b], то W(t) тождественно равен нулю на всем отрезке [а, b].

Пример: рассмотрим вектор-функции

Определитель Вронского для этих функций

При t = 0 W(0) = 0, но W(t) не равен тождественно 0. Отсюда следует, что данные вектор-функции х1(t) и x2(t) не могут быть решениями системы уравнений вида (3) с непрерывными коэффициентами, определенными на интервале, содержащем точку t=0.

Значение определителя Вронского в произвольной точке t можно вычислить с помощью рассмотренной ниже зависимости, называемой формулой Лиувилля.

Пусть x1(t), x2(t), ..., xn(t) — n решений системы (3). Тогда между значениями определителя Вронского W(t) в точках t0 и t существует следующая зависимость:

– след матрицы A(t).

2.7.4. Линейная неоднородная система. Метод вариации произвольных постоянных