Реферат: Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем
Соответствующая ей однородная система (3)
Пусть x=y (t) и j (t) – два решения системы (2). Тогда разность
x (t)= y(t)–j(t)
Представляет собой решение однородной системы (3).
Общее решение системы (2) имеет вид
где ci – произвольные постоянные; xi(t) (i=1, 2, …, n) – фундаментальная система решений системы (3).
Частное решение системы (2) может быть найдено методом вариации произвольных постоянных. Рассмотрим этот метод. Пусть x1(t), x2(t), …, xn(t)— фундаментальная система решений системы (3). Частное решение неоднородной системы (2) будем искать в виде
полагая, что ci являются не постоянными, а некоторыми функциями t. Подставим это решение в систему (2):
Так как вектор-функции xi(t) – являются решениями однородной системы (3), то
поэтому
Это выражение представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно сi(t) (i=l, 2, ,..., n). Определитель этой системы уравнений есть определитель Вронского для фундаментальной системы решений. Он отличен от нуля, поэтому эта система имеет единственное решение сi’(t)=Фi(t) (i=l, 2,..., n).
Интегрируем полученные равенства:
Следовательно, искомое частное решение имеет вид
Значит, общее решение неоднородной системы будет
2.7.5. Формула Коши
При помощи формулы Коши можно выразить решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений через некоторую фундаментальную систему решений соответствующей однородной линейной системы.
Рассмотрим неоднородную линейную систему дифференциальных уравнений (2), записанную в векторном виде
Соответствующая ей однородная система (3)
