Реферат: Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем
Определитель этой системы есть определитель Вронского для линейно независимой системы решений x1 ,…, xn, поэтому W(t)¹0, и данная система имеет единственное решение. Интегрируя полученные значения для c'i(t), найдем ci(t) и тогда искомое решение
Решение x(t) исходного уравнения, удовлетворяющее заданным условиям, найдется по формуле Коши
где
где ci (t) определяются из системы уравнений
Определитель этой системы представляет собой определитель Вронского фундаментальной системы решений x1, …, xn и поэтому не равен нулю. Эта система имеет единственное решение c1(t), …, cn(t ). Следовательно, решение x1(t, t) определяется единственным образом.
2.7.7. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
(5)
Его решение будем искать в виде y=ekx. Тогда y’=kekx, y’’=k2ekx, …, y(n)=knekx. Подставим это в исходное дифференциальн ое уравнение и получим так называемое характеристическо е уравнени е для дифференциального уравнения (5):
knekx +…+a2k2ekx+a1kekx+a0ekx=0
или, разделив это уравнение на ekx, так как он ни при каких x не равен нулю, получаем:
kn+…+a2k2+a1k+a0=0
Решив это уравнение относительно k, мы получим n корней, которые могут быть как действительными, так и мнимыми. В зависимости от вида корней характеристического уравнения мы будем иметь различные виды решения дифференциального уравнения:
1. Некоторые ki, …, kj из всего множества корней характеристического уравнения – действительные и различные числа. Тогда каждому km из этого множества будет соответствовать решение в виде: ym=cmekmx .
2. Некоторые ki,…, k2j – комплексные и различные. Тогда каждой паре km;m+1=am±bmi будет соответствовать решение ym=cmeamxcos(bmx); ym+1=eamxsin(bmx).
3. Среди решений характеристического уравнения есть корень ki кратности m. Ему будут соответствовать решения: yi =ciekix, yi+1=xci+1ekix, …, yi+m=xm-1ci+mekix.
4. Среди решений характеристического уравнения есть 2 комплексных корня ki;i+1=ai±bii кратности m. Им будут соответствовать решения yi =cieaixcos(bix); yi+1=ci+1eaixsin(bix); yi+2=xci+2eaixcos(bix) ; yi+3=xci+3eaixsin(bix) ; … ; yi+m=x2m-1cieaixcos(bix); yi+m=x2m-1 ´
´ci+1eaixsin(bix).
Однако, как было сказано выше, совокупность всех решений {y(x)} образует линейное пространство размерности n, так как решения этой системы являются линейно-независимыми и образуют базис. Это значит, что линейная комбинация решений линейного дифференциального уравнения также будет являться решением. Следовательно, общее решение данного линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка (5) с постоянными коэффициентами можно представить как линейную комбинацию решений, соответствующих каждому корню (или паре корней) характеристического уравнения.
2.7.8. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение имеет вид
y(n)+Pn-1(x)y(n-1)+…+P2y’+P1y+P0=f(x), (6)
где P0(x), P1(x),…, Pn-1(x), f(x) – некоторые непрерывные функции, непрерывные по x и удовлетворяющие условию Липшица по x. Соответствующее ему однородное дифференциальное уравнение имеет вид
y(n)+Pn-1(x)y(n-1)+…+P2y’+P1y+P0=0, (7).
Если дифференциальное уравнение (6) имеет частное решение yв(x) и общее решение yс=c1y1+c2y2+…+cnyn, то общее решение дифференциальн ого уравнения (6) равно сумме частного решения yв и общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (7) yc: y=yc+yв.
Методика нахождения общего решения линейного однородного уравнени я была изложена выше. Здесь мы рассмотрим нахождение частного решения линейного неоднородного уравнения.
Частное решение будет зависеть от вида правой части f(x). В общем случае трудно найти частное решение для любой функции f(x). Однако на практике применяются следующие виды функции f(x):
1. f(x)=P(x)eax, где P(x) – некоторый многочлен. Тогда частное решение ищется в виде: