Физика / Реферат: Элементы теории представлений

Реферат: Элементы теории представлений

Здесь собственный вектор состояний обозначается той же буквой, что и соответствующее собственное значение. Запишем, пользуясь этими обозначениями, выражение. Пусть вектор состояния системы, а – базисная система векторов. Тогда

>=, где

Вектор состояния системы – понятие более абстрактное, чем волновая функция. В зависимости от выбора независимых переменных (представления) вектору состояния могут соответствовать различные волновые функции: в координатном представлении – , в импульсном – , в энергетическом – и т.д. Т.е. волновая функция есть проекция вектора состояния на соответствующий базисный вектор.

Получим в обозначениях Дирака условие полноты ортонормированного базиса. Оно часто бывает полезным при использовании этого формализма.

Пусть - единичный оператор, который любому вектору состояния ставит в соответствие тот же вектор:

Представим в виде разложения по ортонормированному базису (т.е. по системе собственных векторов оператора ):

Подставляем это разложение в:

В силу произвольности вектора получаем

Это соотношение и является условием полноты в обозначениях Дирака.

Пример. Записать в обозначениях Дирака среднее значение физической величины представленной оператором , если состояние системы характеризуется вектором состояния . (Спектр собственных значений оператора считать дискретным).

Среднее значение дискретной случайной величины равно сумме произведений ее возможных значений на их вероятности:

Здесь - собственные значения оператора , - его собственные векторы и - волновая функция системы в - представлении. Преобразуем выражение для среднего значения, пользуясь свойством скалярного произведения