Реферат: Элементы теории представлений
Пусть в выражении
волновая функция и оператор заданы в координатном представлении. Перейдем к 
- представлению. Воспользуемся разложением (3.3.2) функции 
в ряд по собственным функциям оператора 
. Подставляя в выражение для среднего значения и меняя местами знаки суммирования и интегрирования, получаем
Совокупность 
есть матрица 
с одним столбцом. Совокупность 
- сопряженная матрица 
с одной строкой. Поэтому (3.3.8) можно записать как произведение соответствующих матриц:
где 
- оператор в - представлении.
Вопросы для самопроверки
1. Что называют индексом состояния? индексом представления?
2. Как, зная волновую функцию системы в одном представлении, найти ее в другом представлении?
3. Как, зная вид оператора в одном представлении, найти его в другом представлении?
4. Определите понятие матричного элемента оператора.
5. Что представляет собой матричные элементы оператора в его собственном представлении?
6. Что такое вектор состояния, кэт-вектор, бра-вектор? Какая связь между 
и 
?
7. Какая связь между вектором состояния системы и ее волновой функцией?
8. Записать в обозначениях Дирака волновую функцию системы в 
- представлении и в 
- представлении, если ее вектор состояния 
.
9. Изменяется ли среднее значение физической величины при переходе к другому представлению?
10. Записать в матричной форме (в 
- представлении) выражение для среднего значения величины, соответствующей оператору .
Упражнения
3.1 Найти операторы координаты и импульса в импульсном представлении.
Решение. Для простоты рассматриваем одномерное движение вдоль оси . В координатном представлении
, (см §2.7).
В импульсном (т.е. в своем собственном) представлении 
. Найдем оператор координаты.
Способ 1. Воспользуемся тем, что среднее значение физической величины не зависит от используемого представления:
(I)
В левой части равенства все величины даны в координатном представлении, в правой – в импульсном. Связь между волновыми функциями в координатном и импульсном представлениях определяется соотношением
,
Где
