Реферат: Исследование свойств прямоугольного тетраэдра

_______

R = (1/2)D = (1/2)√a²+b²+c²,

что и требовалось доказать.

VII. Радиус сферы, вписанной в прямоугольный тетраэдр, определяется по формуле:

abc

r = ____________ ,

√a²b²+b²c²+a²c² + ab + bc + ac

где a, b, c - катеты тетраэдра.

Дано: ОАВС - прямоугольный тетраэдр

ОА = а, ОВ = b, ОС = с – катеты. О₁ – центр вписанной сферы

r - радиус вписанной сферы

Доказать:

r = h / (1 + cosα + cosβ + cosγ)

Доказательство: Пусть вписанная сфера касается гипотенузной грани в точке Д. Тогда О₁ Д перпендикулярна гипотенузной грани и О₁ Д = r.

_ _

Пусть d_o - единичный вектор нормали к гипотенузной грани, т.е. |d_о | = 1

Координаты этого единичного вектора (cosα; cosβ; cosγ) являются направляющими косинусами нормали к гипотенузной грани.

__

Найдем проекцию вектора ОО₁ с координатами (r; r; r) на вектор нормали:

___ __

ОК = |ОО₁ |cosδ , где δ – угол между вектором ОО₁ и вектором нормали.

___ __ _ __ _

|OO₁ |cosδ = (OO₁ ·d_o ) = r·cosα + r·cosβ + r·cosγ , где (ОО₁ ·d_о ) – скалярное произведение двух векторов.

Пусть перпендикуляр к гипотенузной грани ОН = h,

тогда h = OK + KH, т.е.

h = |OO₁ |cosδ + r, т.к. КН = r

(поскольку КНДО₁ является прямоугольником).

Имеем