Частотные характеристики определяются, как реакция системы на гармоническое типовое воздействие при нулевых начальных условиях.

Пусть задана система (рис. 7) с передаточной функцией K(p) .

Рис. 7

При подаче на вход системы гармонического воздействия

, (17)

на выходе получим (18)

Если использовать формулы Эйлера, эти соотношения можно представить в комплексном виде:

(19)

Если выполнить подстановку p = j w в передаточной функции системы, то получим комплексную передаточную функцию

(20)

При изменении частоты 0£w £+¥ получим следующие частотные характеристики:

АФХ – амплитудно-фазовая частотная характеристика;

ВЧХ – вещественная частотная характеристика;

МЧХ – мнимая частотная характеристика;

АЧХ – амплитудно-частотная характеристика;

ФЧХ – фазовая частотная характеристика.

Частотные характеристики могут быть выражены через коэффициенты полиномов передаточной функции

(21)

Графически характеристики можно представить в виде рис. 8а.

Связь между временными и частотными характеристиками.

Рассмотрим связь между частотными характеристиками и переходной функцией системы (рис. 8б).

а) б)

Рис. 8

Для выходной величины можно записать

.

Используя преобразование Фурье, получим выражение для переходной функции

(22)

Подставив эти выражения в формулу для h(t) и выполнив преобразования, получим связь между переходной функцией и ВЧХ:

(23)

Логарифмические частотные характеристики САУ

Исследование систем существенно упрощается при использовании не обычных, а логарифмических частотных характеристик. При этом натуральная логарифмическая амплитудная и фазовая частотные характеристики определяются из соотношений

. (24)

На практике обычно используют десятичные логарифмы. При этом логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) строится в логарифмическом масштабе частот и определяется соотношением

.