Реферат: Компонентный и факторный анализ

Так как , то гипотеза отвергается, то есть собственные числа и не кратны.

:

Так как , то гипотеза отвергается, то есть собственные числа и не кратны.

Необходимо выделить главные компоненты на уровне информативно­сти 0,85. Мера информативности показывает какую часть или какую долю дисперсии исходных признаков составляют k-первых главных компонент. Мерой информативности будем называть величину:

I₁ ==0,458

I₂ ==0,667

I₃ =

На заданном уровне информативности выделено три главных компоненты.

Запишем матрицу =

Для получения нормализованного вектора перехода от исходных признаков к главным компонентам необходимо решить систему уравнений: , где - соответствующее собственное число. После получения решения системы необходимо затем нормировать полученный вектор.

Для решения данной задачи воспользуемся функцией eigenvec системы MathCAD, которая возвращает нормированный вектор для соответствующего собственного числа.

В нашем случае первых четырех главных компонент достаточно для достижения заданного уровня информативности, поэтому матрица U (матрица перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов)

Строим матрицу U, столбцами которой являются собственные вектора:

U=.

Матрица весовых коэффициентов:

А=.

Коэффициенты матрицы А являются коэффициентами корреляции ме­жду центрировано – нормированными исходными признаками и ненормиро­ванными главными компонентами, и показывают наличие, силу и направле­ние линейной связи между соответствующими исходными призна­ками и соответствующими главными компонентами.

2.2 Экономическая интерпретация полученных главных компонент

Коэффициент матрицы А представляют собой коэффициенты корреляции между i-ой главной компонентой и j-ым исходным признаком.

Так как первая главная компонента зависит главным образом от первого (X₅ – удельный вес рабочих в составе ППП) и третьего (X₇ – коэффициент сменности оборудования) исходного признака, следовательно ее можно обозначить как «Эффективность основного производства». Вторая главная компонента тесно взаимосвязана со вторым (X₆ – удельный вес покупных изделий) и четвертым (X₉ – удельный вес потерь от брака) исходными признаками, ее можно обозначить как «Удельный вес затрат не приносящих прибыль». Третья главная компонента взаимосвязана с четвертым исходным признаком, поэтому ее обозначим «Удельный вес потерь от брака».

2.3 Матрица наблюденных значений главных компонент.

Мы получили ненормированные главные компоненты. Проведя нормирование полу­ченных центрированных , полу­чим . При нормировании дисперсия должна рав­няться 1, . Для этого нужно разделить на среднеквадратическое отклонение .

Обозначим - это матрица весовых коэффициентов, с помощью которой уста­навливается связь между нормированными исходными признаками и нормирован­ными главными компонентами.

Модель метода главных компонент:

где

- значение I - той стандартизированной переменной по j - ому объекту наблюдения;