Реферат: Квадратичні форми їх приведення до діагонального вигляду Приведення рівняння кривої другого п

Нехай серед величин дві, наприклад і , дорівнюють нулю. Тоді (4.30) набере вигляду

_(4.32)

Тут, звичайно, можна підібрати так, щоб . Тоді рівність (4.32) запишеться так:

(4.33)

Далі здійснимо підстановку

Вона зведе останню рівність до такої:

.

Звідси

(4.34)

Поверхня (4.34) є параболічним циліндром з твірними, паралельними осі , а його напрямною є парабола.

Якщо в (4.34) , то одержимо рівняння

.

При це рівняння описує пару уявних паралельних площин, а при - пару дійсних паралельних площин.

Якщо в (4.33) , то (4.33) - пара площин, що збігаються.

Зведення рівняння кривої другого порядку до канонічного вигляду здійснюється за тією ж схемою, що й рівняння (4.24). Різниця лише в тому, що змінних тут на одну менше, а тому характеристичне рівняння буде не кубічним, а квадратним; систем рівнянь для знаходження власних векторів буде лише дві і при тому ще кожна система рівнянь складатиметься не з трьох рівнянь, а з двох.

Приклад 2. Визначити, яку криву визначає рівняння

і побудувати її.

Р о з в ’ я з о к. Характеристичне рівняння має вигляд

Розв’язавши це рівняння, одержимо . Знайдемо тепер власні вектори. Якщо , маємо таку систему рівнянь для знаходження власного вектора :

Звідси знаходимо .

При маємо систему рівнянь

.

Зводимо власні вектори і до одиничних:

.

Отже, перетворення координат записується так:

.

Лінійна частина рівняння набуває вигляду