Реферат: Квадратичні форми їх приведення до діагонального вигляду Приведення рівняння кривої другого п

(однопорожнинний гіперболоїд).

Паралельно з цим було знайдено і координати початку координатної системи по відношенню до системи координат :

4.5. Застосування елементів лінійної алгебри в економіці

Для розв’язування багатьох економічних задач використовуються елементи алгебри матриць, теорії систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Особливо при розробці і використання баз даних: при роботі з ними майже вся інформація зберігається і обробляється в матричній формі.

4.5.1. Модель Леонт’єва багатогалузевої економіки

Макроекономіка функціонування багатогалузевого господарства вимагає балансу між окремими галузями. Кожна галузь, з одного боку, є виробником, а з іншого – споживачем продукції, що випускається іншими галузями. Виникає досить непроста задача розрахунку зв’язку між галузями через випуск і споживання продукції різного виду. Вперше ця проблема була сформульована у вигляді математичної моделі в працях відомого американського економіста В.Леонт’єва в 1936 р., який спробував проаналізувати причини економічної депресії США 1929-1932 рр. Ця модель основана на алгебрі матриць і використовує апарат матричного аналізу.

Для простоти будемо вважати, що виробнича сфера господарства представляє собою галузей, кожна з яких виробляє свій однорідний продукт. Для забезпечення виробництва кожна галузь потребує продукцію інших галузей. Процес виробництва розглядається за деякий період, наприклад, за рік.

Введемо позначення:

загальний об’єм продукції ої галузі (її валовий випуск);

об’єм продукції ої галузі, що споживається ою галуззю при виробництві об’єму продукції ;

об’єм продукції ої галузі, що призначена для реалізації (споживання) в невиробничій сфері, або так званий продукт кінцевого споживання. До нього відносяться особисте споживання громадян, задоволення суспільних потреб, утримання державних інститутів і т.д.

Балансовий принцип зв’язку різних галузей промисловості полягає в тому, що валовий випуск ої галузі повинен дорівнювати сумі об’ємів споживання в виробничій і невиробничій сферах. В найпростішій формі (гіпотеза лінійності) балансові співвідношення мають вигляд

(4.35)

Рівняння (4.35) називаються рівняннями балансу .

В. Леонт’євим, на основі аналізу економіки США в період перед другою світовою війною, був встановлений важливий факт: на протязі тривалого часу величини змінюються дуже мало, а тому їх можна вважати постійними. Це явище стає зрозумілим в світлі того, що технологія виробництва залишається на одному й тому ж рівні тривалий час, а, значить, об’єм споживання ою галуззю продукції ої галузі при виробництві своєї продукції об’єму є технологічна константа.

В силу вказаного факту можна зробити таке припущення: для виробництва продукції ої галузі об’му потрібно використовувати продукцію ої галузі об’єму де постійні числа. При такому припущенні технологія виробництва приймається лінійною, а саме це припущення називається гіпотезою лінійності. При цьому числа називаються коефіцієнтами прямих затрат. Згідно з гіпотезою лінійності

(4.36)

Тоді рівняння (4.35) можна записати в матричній формі

(4.37)

де вектор-стовпець об’єму виробленої продукції (вектор валового випуску), вектор-стовпець об’єму продукції кінцевого споживання (вектор кінцевого споживання), матриця коефіцієнтів прямих затрат:

(4.38)

Переважно співвідношення (4.37) називають рівнянням лінійного міжгалузевого балансу. Разом з описанням матричного представлення (4.38) це рівняння носить назву моделі Леонт’єва .

Рівняння міжгалузевого балансу можна використовувати вдвох випадках: 1) коли відомий вектор валового випуску , а потрібно розрахувати вектор кінцевого споживання 2) з метою планування із наступним формулюванням задачі: для періоду відомий вектор кінцевого споживання і потрібно визначити вектор валового випуску.

Система (4.37) має ту особливість, що всі елементи матриці і векторів повинні бути невід’ємними.

Матриця всі елементи якої невід’ємні, називається продуктивною , якщо для довільного вектора з невід’ємними компонентами існує розв’язок рівняння (4.37) – вектор всі елементи якого невід’ємні. В такому випадку і модель Леонт’єва називається продуктивною.

Для рівнянь типу (4.37) розроблена відповідна математична теорія дослідження розв’язку і його особливостей. Приведемо без доведення важливу теорему про продуктивність матриці

Теорема. Якщо для матриці з невід’ємними елементами і деякого вектора з невід’ємними компонентами рівняння (4.37) має розв’язок з невід’ємними компонентами, то матриця продуктивна.

Очевидно, що розв’язок (4.37) має вигляд :