Реферат: Математические основы теории систем
an1 x1 +an2 x2 +...+(a nn -ℷ)xn =0;
Матрица вида (А-ℷI) (6) называется характеристической матрицей А. Определитель характеристической матрицы называется характеристическим многочленом матрицы А. Корни характеристического многочлена матрицы называются характеристическими числами этой матрицы. Из свойств решения уравнения (6) нетривиальное решение (отличное от нуля) возникает только тогда, когда имеется бесчисленное множество решений:
(7) det(A-ℷI)+a0 ℷn +a1 ℷn-1 +....+an-1 ℷ=0
Подставив любое собственное значение в исходную систему уравнений (6), получим уравнение:
(8) (А-ℷi I)х=0
которое имеет непрерывное решение, так как det(A-ℷi I)=0
Это решение дает вектор хi , определяемый с точностью до скалярного множителя. Этот вектор называется собственным вектором матицы А.
Свойства:
1. Если собственные числа матрицы А различны (корни характеристического уравнения не равны), то порождаемые или собственные векторы образуют систему линейно независимых векторов.
2. Если матрица А симметрическая, то собственные числа такой матрицы всегда вещественны, а собственный вектор в матрице образует систему ортогональных векторов.
Линейные пространства, элементами которых являются, упорядоченные последовательности n-вешественных чисел называются векторами.
ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ.
Упорядоченные последовательности из n - чисел х(1) ,...,х(n) , могут быть записаны в виде вектор - столбца или вектор - строки;
x(1) n n
(9) х= ..... = x)i) ; (x(1) ,...,x(n) )=(x(i) )
x(n) 1 1
Эти числа, составляющие вектор, называются компонентами вектора.
Если один из этих векторов обозначить буквой х, то другой будем обозначать х и называть транспонированным вектором.
n
(10) х=(х( i) ) =(х(1) ,...,х(n) )
1
Число n компонент вектора называется его размерностью.
СВОИСТВА ВЕКТОРОВ.
а) х=у, если равны их компоненты:
x(i) =y(i)
x(1) y(1) x(1) +y(1)
б) х+у= ...... + ...... = ........... -сумма векторов.
x(n) y(n) x(n) +y(n)
в) Разность векторов х-у представляет собой вектор z, такой, что у+z=х.