Реферат: Математические основы теории систем

Пусть у=Ах и v=Вх - два линейных преобразования с матрицами А=[a_ij ] и В=[в_ij ] размером m*n.

Рассмотрим новое линейное преобразование, ставшее в соответствие каждому вектору х∈Х вектор у+v∈Y

(7) у+v=Ах+Вх=(А+В)х

Преобразование (А+В)х называют суммой линейных преобразований Ах и Вх, или:

(8) А+В=[a_ij ]+[в_ij ]

При сложении двух матриц одинакового размера получается новая матрица того же размера, элементы которой равны сумме элементов складываемых матриц.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦ.

Пусть X,Y,Z-линеиные пространства размерностью m, r, n и пусть у=Вх, z=Ау - линейные преобразования пространства Х в пространство Y, и пространства Y в пространство Z, где В=[в_kj ] и A=[a_ik ] матрицы размером m*k и k*n соответственно. Произведением преобразований Ау и Вх называют новое линейное преобразование Сz.

(9) Z=Cx=A(Bx)=ABx

Матрицу С=АВ размером n*n называют произведением матриц А и В.

n ___ ___

(10) С_ij = ∑ а_ik в_kj , i=1,n , j=1,m

k=1

Согласно (10) элемент С_ij матрицы С представляет собой скалярное произведение i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В, так что произведение матриц АВ символически может быть представлено в виде:

a₁₁ ...a_1k в₁₁ ...в_1m

(11) АВ= ............ * .............

a_n1 ...a_nk в_k1 ....в_km

ТРАНСПОНИРОВАНАЯ МАТРИЦА.

Пусть А=[a_ij ] - матрица размером m*n. Матрица А^T =[а'_ij ] размером m*n, строки которой являются столбцами матрицы А, столбцы строками матрицы А.

Элемент а'_ij матрицы А^T определяют по элементам а_ij матрицы А из соотношения:

(12) а'_ij =а_ji

ОСОБЕННОСТИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ.

В квадратной матрице число строк равно числу столбцов.

Определителем квадратной матрицы называют, определитель составленный из элементов a_ij этой матрицы и обозначают det A.

Определитель det A обладает следующими свойствами:

1) при умножении на ℷ любого столбца матрицы А определитель det A умножается на ℷ;

2) перемена местами двух соседних столбцов меняет знак det A на противоположный;

3) если любые два столбца матрицы равны между собой, то det A=0;

4) добавление к любому столбцу матрицы любого другого столбца, умноженного на произвольный скалярный множитель, оставляет det A неизменным;