Реферат: Математические основы теории систем

ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА-КЕЛЛИ.

Каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического уравнения.

(13) det (A-ℷI)=a₀ ℷⁿ +a₁ ℷ^n-1 +...+a_n-1 ℷ a_n =0

(14) a₀ Aⁿ +a₀ A^n-1 +a_n-1 A+a_n I=0_[n*n]

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.

Матрицей, обратной по отношению к квадратной матрице А размером n*n, назовем такую матрицу А^-1 того же размера, для которой справедливо соотношение:

(15) А*А^-1 =А^-1 *А=Е

Пусть у=Ах - линейное преобразование с квадратной матрицей А=[x_ij ]. Обратным преобразованием называют преобразование х=А^-1 у. Матрицу А^-1 этого преобразования называют обратной по отношению к матрице А.

(16) А^-1 =(1/detA) [A_ij ]^T , где А_ij - алгебраическое

дополнение элемента а в определителе матрицы.

Система уравнений Ах=у называется определенной и имеет единственное решение, если detA≠0. Матрица А, для которой выполнено это условие, называют невырожденной.

ДИАГАНАЛИЗАЦИЯ МАТРИЦ.

Вид квадратной матрицы А линейного преобразования у=Ах, может быть изменен без изменения характеристического уравнения этой матрицы путем использования преобразования подобия.

Пусть А - квадратная матрица; С - произвольная невырожденная матрица. Преобразованием подобия называют преобразование:

(17) В=С^-1 *А*С

Преобразование подобия позволяет приводить некоторые виды квадратных матриц к диагональной форме, являющейся наиболее удобным видом матрицы.

ℷ₁ 0 0

(18) diag[ℷ₁ ℷ₂ ......ℷ_n ]= 0 ℷ₂ 0

0 0 ℷ_n

Нормой матрицы А размер m*n называется сумма модулей ее элементов:

m n

(19) │А│= ∑ ∑ │a _ij │

i=1 j=1

При решении задач удобно ввести матрицы, элементы которых являются функциями независимой переменной t.

Эти матрицы имеют вид:

a₁₁ (t) a₁₂ (t) ...... a_1n (t)

(20) А(t)= a₂₁ (t) a₂₂ (t) ...... a_2n (t)

............................

a_m1 (t) a_m2 (t) ..... a_mn (t)