Реферат: Математические основы теории систем

Если ∑ есть конечное множество, то А есть объект с конечным пространством состояний.

Вероятностные или стохастические объекты- объекты в которых для каждого t y(t) является случайной переменной. Для таких объектов уравнения вход-выход- состояние (4), заменяется уравнением вход-выход- распределение состояний, которое определяет вероятностную меру в пространстве y_[t0,t] как функцию начального состояния S(t₀ ) и входа U_[t0,t] .

Графическое представление систем.

U₁ у₁ U₁ S у₁

U_к у_к U_к у_к

Представление объекта в виде блок-диаграмм

1.4 ОБЪЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ С НЕПРЕРЫВНЫМ

ВРЕМЕНЕМ.

Дифференциальные уравнения состояния:

(1) Ś(t)= A(t)S(t)+B(t)U(t)

(2) у(t)= C(t)S(t)+D₀ (t)U(t)+D₁ (t)U⁽¹⁾ (t)+...+D_к (t)U^(к) (t)

Коэффициенты этих уравнений являются матрицами.

A- матрица состояний [n*n]

B- матрица входа [m*n]

C- матрица выхода [L*m]

D- проходная матрица [L*m]

Пусть А- непрерывная система, заданная уравнением входа-выхода вида:

Lу+Kŷ=Mu, где L,K,M- матричные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, u,у - входной и выходной векторы, а ŷ -скрытый выходной вектор.

Соотношения вход - выход-состояние.

В процессе установления соответствия вектора состояния с системой и связанного с этим определения соотношения вход - выход-состояние системы, описываемой дифференциальными уравнениями, состоит в нахождении общего решения этого дифференциального уравнения.

(2) L(p)y=u, L(p)=a_n pⁿ +...+a₀ , a_n ≠0, которое описывает R.

Решить дифференциальное уравнение можно с помощью методов, хорошо известных из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако будет удобно основываться не на классической теории, а получить общее решение сразу, путем преобразования Лаплпса.

Пусть R- система, описываемая соотношением вход-выход (2), тогда выражение для общего решения будет иметь вид:

n t

(3) y(t)= ∑ y^{( ℷ -1)} (t₀ -)Ф_ℷ (t-t₀ )+ ⌡ h(t-ℰ)U(ℰ)dℰ t≥t₀ ,

ℷ=1 t₀

где h(t)=Z {1/L(S)}= импульсной реакции R

(4) H(S)=1/L(S)= передаточная функция R,

Ф_ℷ =Z^-1 {(a_n S^{n- ℷ} +...+a_ℷ )/L(S)}, ℷ=1,...,n