Реферат: Математические основы теории систем

Следовательно пара U_[t0,t] ,у_[t0,t] удовлетворяет уравнению

вход - выход - состояние (2), если U_[t0,t] и у_[t0,t] составляют

пару вход-выход по отношению к некоторому α в ∑.

В соответствии с уравнением (2') можем записать:

R[y]= { A(α,U)│ α∈∑, U∈ R[U] }

Условия взаимной совместимости:

Каждая пара вход-выход для удовлетворяет уравнению вход - выход-состояние (2')

Более детально: (1) если (U_[t0,t] ,у_[t0,t] ), или проще (U,у) является любой парой функции времени (при U∈R[U], у∈R[y]),

удовлетворяющих уравнению А(U,y)=0, то (U,y) удовлетворяет также и (2') в том смысле, что существует α₀ в ∑ такое, что

(3) у= A (α₀ ,U_[t0,t] ),

и (2) любая функция времени (U,y), удовлетворяющая уравнению (2') для некоторого α, принадлежащего ∑ на интервале наблюдения [t₀ ,t], является парой вход-выход для A.

Первое условие собственной совместимости:

Для того, чтобы множество ∑ могло называться пространством состояний A , оно должно иметь следующее свойство: если дана любая точка α в ∑ (которую мы назовем состоянием A в момент t₀ ) и любой вход U_[t0,t] в пространстве входов A, то выход в момент t однозначно определяется значением α и U_[t0,t] , и не зависит от значений U и y в момент времени, предшествующий t₀ , т.е. для всех t₀ реакция y(t) в любой момент времени t>t₀ , однозначно определяется заданием α и U_[t0,t] .

Это свойство является ключевым в понятии состояния. Второе условие собственной совместимости.

Если уравнения вход - выход-состояние удовлетворяется при подстановке пары (U_[t0,t] ,у_[t0,t] ), тогда оно удовлетворяется при подстановке всех пар вида (U_[t,t1] , у_[t,t1] ), где t₀ <t≤t₁ , а U_[t,t1] и у_[t,t1] являются сегментами U_[t0,t] , и у_[t0,t] соответственно. Это должно выполняться для всех α и ∑ и всех пар вход-выход, относящихся к α.

Пусть (UU',yy') - пара вход-выход, удовлетворяющая уравнению вход - выход-состояние (2') при α=α₀ . Тогда можно записать: yy'= A (α₀ ,UU'), где U',y' вход и выход на интервале [t,t₀ ]

Утверждение, что (U',y') удовлетворяет уравнению вход - выход-состояние (2'), будет эквивалентно утверждению, что существует не пустое множество Q значений α в ∑, при которых выражение y=A(α;U') удовлетворяется для всех α в Q.

Тогда в качестве состояния объекта A в момент t может быть принято любое состояние α в Q_t (α₀ ,U) при α₀ -состояние в момент t₀ или, что тоже самое, начальном состоянии A.

Состояние A в момент времени t будет обозначаться S(t).

Когда будет необходимо показать, что S(t₀ ) является начальным состоянием объекта A, уравнение вход - выход-состояние будет записываться в виде:

(4) y(t)= A(S(t₀ );U_[t0,t] )

S(t₀ ) и, в более общем случае S(t) изменяются в пространстве состояний ∑, т.е. для каждого фиксированного значения t, R[S(t)]=∑.

Если выполнены условия совместимости, то можно утверждать, что состояние S(t) однозначно определяется состоянием S(t₀ ) и входом U_[t0,t] и что функциональная зависимость S(t) от S(t₀ ) и U_[t0,t] может быть получена из уравнения вход - выход-состояние:

y(t)= A( S(t₀ ); U_[t0,t] ), где α₀ =S(t₀ ) (4)

Выражение S(t) как функция S(t₀ ) и U_[t0,t] называется уравнением состояния объекта.

(5) S(t)= S (S(t₀ );U_[t0,t] ), где

S- функция со значением в ∑.

Уравнение (5) производное от уравнения вход - выход-состояние (4).

Природа пространства состояний ∑ объекта является одной наиболее важных его характеристик. Если ∑ есть континуум, то будем говорить, что А есть объект с непрерывным пространством состояний.