Реферат: Математические основы теории систем

Матрицей А размером m*n называют таблицу, содержащую m-строк и n-столбцов, элементами которой являются вещественные или комплексные числа

a₁₁ .......... a_1n

A= ...................... =[a_ij ]

a_m1 .......... a_mn

Если m=n, то матрицу называют квадратной.

Матрицы А=[а_ij ] и В=[в_ij ] равны (А=В) в том и только в том случае, если имеют один и тот же размер а_ij =в_ij для всех ij.

Преобразованием линейного n-мерного пространства Х называют оператор А, отображающий это пространство в m - мерное линейное пространство Y:

(1) А:Х→Y

Таким образом, преобразование А ставит в соответствие каждому вектору х пространства Х вектор

(2) Y=А-х, пространства Y.

Преобразование А называют линейным, если выполняется условие:

(3) А(х₁ +х₂ )=Ах₁ +Ах₂ , А(ℷх_i )=ℷАх

Условие (3) будет выполнятся, если между компонентами хⁱ и у^j векторов х и у имеется линейная зависимость вида:

n ___

(4) у⁽ⁱ⁾ = ∑ a_ij x^(j) , i=1,m ,где а_ij - произвольное число

j=1 ____ ___

Совокупность чисел а_ij , i=1,m; ;j=1,n образуют матрицу:

a₁₁ ......a_1n

A= ................ = [a_ij ]

a_m1 ......a_mn

которую называют матрицей линейного преобразования.

у=Ах можно записать в виде умножения матрицы на вектор:

y⁽¹⁾ a₁₁ ......a_1n x⁽¹⁾

(5) .... = ............... * .....

y⁽ⁿ⁾ a_m1 ......a_mn x⁽ⁿ⁾

ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО.

Пусть А матрица линейного преобразования Ах, α- число.

(6) αА=[α а_ij ]

При умножении матрицы А на число α все ее члены умножаются на это число.