Реферат: Математические основы теории систем

Производной матрицы А(t) по независимому переменному называется матрица А(t) вида:

da₁₁ (t)/dt da₁₂ (t)/dt ...... da_1n (t)/dt

(21) А(t)= dA(t)/dt = ............................................................. =

da_m1 (t)/dt ad_m2 (t)/dt ...... da_mn (t)/dt

=[da_ij (t)/dt]

1.3 ПОНЯТИЕ ДИНАМЧЕСКОГО ОБЬЕКТА.

Физический объект - физическое устройство, характеризуемое некоторым числом свойств, соответствующих целям его использования.

В теории систем существенным является не физическое, а математическое описание свойств объекта и соотношений между ними. В теории систем объектом А является абстрактный объект, связанный с множеством свойств, который обычно характеризуется числами или набором чисел. Таким образом, фактически абстрактный объект или просто объект представляет собой множество переменных вместе с отношениями между ними.

Вспомогательные определения и понятия:

v₁ , v₂ ,...- основные переменные объекта А.

Основное уравнение - соотношение между основными переменными.

(1) A⁽¹⁾ (v₁ ,..., v_n )=0 Основное уравнение объекта A,

A⁽²⁾ (v₁ ,...., v_n )=0 где A^(j) , j=1,..., m

..................... v_i , i= 1,..., n

A^(m) (v₁ ,..., v_n )=0 m и n - конечные числа

Если абстрактный объект A определяется соотношениями (1) без каких - либо указаний, какие переменные являются входными (причина), а какие - выходными (следствия), то A будем называть неориентированным объектом.

Если основные переменные подразделены на две группы - входные и выходные переменные, играющие роль независимых и зависимых, то A будет называться ориентированным объектом.

Состояние объекта A в момент t₀ может рассматриваться как параметр S(t₀ ), связанной с каждой парой вход-выход

(U_{[t0, t]} , Y_{[t0, t]} ), таким образом, что Y_{[t0, t]} единственным образом определяется заданием U_{[t, t]} и S(t₀ ).

Иначе говоря, состояние объекта в момент t₀ есть некоторый набор чисел, представленный, например, вектором α, который изменяется в пространстве ∑ так, что знание (1)α, (2) - уравнения вход-выход для объекта и (3) - входа U_[t0,t]] является достаточным для однозначного определения входа y_[t0,t] .

S(t₀ ) - называется состоянием объекта в момент t₀ .

[t₀ ,t]- интервал наблюдаемости

УРАВНЕНИЕ ВХОД-ВЫХОД-СОСТОЯНИЕ.

Пусть А- ориентированный абстрактный объект, U,у - вход и выход на интервале наблюдения [t₀ ,t] - переменная в пространстве ∑, R[U], R[y]- пространство входа и выхода.

(2) y(t)=A (α;U_[t0,t] ) ∀ t>t₀

где A- функция α и U_[t0,t]

U и у принадлежат R[U], R[у]

Уравнение (2) является уравнением вход-выход состояния. Символьная форма записи вход - выход - состояние.

(2') у_[t0,t] =A (α,U), где