Реферат: Математические основы теории систем

L(p)Ф_ℷ (t)=0, ℷ=1,...,n

На втором этапе необходимо отождествить постоянные a_i , i=1,..,n из уравнения (2) с составляющими вектора x(t₀ -) - состояние R в момент времени t₀ -.

Положим базисные функции, или точнее говоря их преобразования по Лаплпсу, равными:

S^n-1 /L(S),...,S/L(S),1/L(S)

В этом случае составляющим x(t₀ ) будет:

(5) x₁ (t₀ -)=a_n y(t₀ -),

x₂ (t₀ -)=a_n y^(n-1) (t₀ -)+a₁ y(t₀ -)

....................................................

x_n (t₀ -)=a_n y^(n-1) (t₀ -)+...+a_n-1 y(t₀ -)

Заменяя начальные значения y^{( ℷ -1)} (t₀ -) в (3) через их выражения, представленные с помощью составляющих x(t₀ -), получим для общего решения (3)

t

(6) y(t)=<(t-t₀ ),...,x(t₀ -)>+ ⌡ h(t-ℰ)U(ℰ)dℰ, t≥t₀

t₀

где h- импульсная реакция R

Ф(t)=(Ф₁ (t),...,Ф_n (t)); составляющие которого суть базисные функции:

Ф_ℷ (t)= Z^-1 { (a_n ℷ^n-1 +...+ a_ℷ )/L(S) },

а <Ф(t-t₀ ), x(t₀ -)> обозначает скалярное произведение базисного

вектора Ф(t-t₀ ) и начального вектора состояния x(t₀ -).

Уравнение (6) является соотношением вход - выход-состояние для R.

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТРИЦА.

Будем исследовать реакцию при нулевом входе и вынужденную реакцию систем, описываемых уравнением вида:

(11) x(t)= A(t)x(t)+B(t)U(t), где

A(t)- квадратная матрица порядка n, элементами которой являются функции, непрерывные для всех значений t; B(t)-непрерывная матрица размером [n*r]; x(t) - вектор состояния, U- вход.

Пусть A(t) есть квадратная матрица порядка n, элементы которой - непрерывные функции. Тогда решение матричного дифференциального уравнения:

(12) X= A(t)X(t), X(t₀ )=C, где

C есть произвольная постоянная матрица, имеет следующий вид:

(13) X(t)= (t,t₀ )C

Любая неособенная матрица, которая удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению (12), называется фундаментальной матрицей системы (11). Таким образом, любая фундаментальная матрица имеет вид (13) при некоторой неособенной матрице С n строк любой фундаментальной матрицы есть n линейно независимых решений для уравнения (11).

th. Пусть A(t) есть квадратная матрица порядка n, элементы которой непрерывные функции времени. Пусть Ф(t,t₀ ) есть также квадратная матрица порядка n, которая является решением уравнения