Реферат: Матричный анализ

.

Слева мы получили характеристический многочлен для матрицы f(A), разложенный справа на линейные множители, откуда следует, что – собственные значения матрицы f(A).

ЧТД.

Свойство № 2. Пусть матрица и – собственные значения матрицы А, f(x) – произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда собственные значения матрицы f(A) равны .

Доказательство:

Т.к. функция f(x) определена на спектре матрицы А, то существует интерполяционный многочлен матрицы r(x) такой, что , а тогда f(A)=r(A), а у матрицы r(A) собственными значениями по свойству № 1 будут которым соответственно равны .

ЧТД.

Свойство № 3. Если А и В подобные матрицы, , т.е. , и f(x) – произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда

Доказательство:

Т.к. А и В подобны, то их характеристические многочлены одинаковы Þ одинаковы и их собственные значения, поэтому значение f(x) на спектре матрицы А совпадает со значение функции f(x) на спектре матрицы В, при чем существует интерполяционный многочлен r(x) такой, что f(A)=r(A), , Þ.

ЧТД.

Свойство № 4. Если А – блочно-диагональная матрица , то

Следствие: Если , то , где f(x) – функция, определенная на спектре матрицы А.

4. Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.

Случай № 1.

Пусть дана . Рассмотрим первый случай: характеристический многочлен имеет ровно n корней, среди которых нет кратных, т.е. все собственные значения матрицы А различны, т.е. , Sp A – простой. В этом случае построим базисные многочлены l_k (x):

.

Пусть f(x) – функция, определенная на спектре матрицы А и значениями этой функции на спектре будут . Надо построить .

Построим:

.

Обратим внимание, что .

Пример: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для матрицы .

Построим базисные многочлены:

Тогда для функции f(x), определенной на спектре матрицы А, мы получим:

.

Возьмем , тогда интерполяционный многочлен

.

Случай № 2.

Характеристический многочлен матрицы А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицы является делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни, т.е. . В этом случае интерполяционный многочлен строится так же как и в предыдущем случае.

Случай № 3.

Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид:

,