Реферат: Матричный анализ

DF . Матрица называется неотрицательной, если каждый ее элемент положителен.

Квадратные матрицы такого типа возникают во множестве задач и это определяющее свойство приводит к сильным результатам об их строении. Теорема Фробениуса-Перона является основным результатом для неотрицательных матриц.

Пусть матрицы . Будем говорить, что , если б в частности A>B, если .

Вспомним матрицу перестановки , т.е. матрицы перестановки обязательно ортогональны. Произведение приводит к перестановке столбцов матрицы А.

DF . При матрица называется приводимой матрицей , если существует такая матрица перестановки Р, что совподает с матрицей , где А₁₁ , А₁₂ , А₂₂ – квадратные матрицы меньшего чем n порядка. Если матрица Р не существует, то матрица А называется неприводимой .

Понятие приводимости имеет значение при решении матричных уравнений , ибо если Ф – приводима, то осуществив замену переменных, которую подсказывают равенства , получаем

, где , .

и решаем матричное уравнение с матрицей более низкого порядка. Затем, и решаем матричное уравнение. Таким образом, если А – приводима, то решение уравнения высокого порядка сводится к решению уравнений более низкого порядка, при чем собственные значения матриц А₁₁ и А₂₂ в своей совокупности составляет множество значений матрицы А.

Интересно, что явление приводимости не связано с величиной матрицы, а зависит лишь от расположения нулевых элементов в матрице.

В связи с этим, используют идею направленного графа матрицы, которую можно взять в качестве характеризации неприводимости матрицы. Наметим первые шаги тоерии и получим вторую характеризацию неприводимости матриц.

DF . Пусть р₁ , р₂ , …, р_n – n различных точек комплексной плоскости и . Для каждого нулевого элемента матрицы А составим направленную линию от р_i к р_j . Получающаяся в результате фигура на комплексной плоскости называется направленным графом матрицы .

Например:

DF . Говорят, что любой направленный граф связен, если для каждой пары точек существует направленный путь .

Легко доказать, что квадратная матрица неприводима тогда и только тогда, когда ее граф является связным.

8.Теорема Фробениуса-Перона.

Очевидно, что если , то для . Более того, мы покажем, что для достаточно больших p.

Лемма № 1. Если матрица неотрицательна и неприводима, то .

Доказательство:

Если взять произвольный вектор и , то . И пусть вектор имеет место, очевидно, что Z имеет по крайней мере столько же нулевых положительных элементов, что и y. В самом деле, если предположить, что Z имеет меньше нулевых компонент, то обозначим , тогда и разбив матрицу А на блоки следующим образом

мы будем иметь .

Учитывая, что , то , тогда получаем, что , что противоречит неприводимости матрицы.

Для следующего вектора повторим рассуждения и т.д. В итоге получим, что для некоторого ненулевого вектора y.

ЧТД.

Для ненулевой неприводимой матрицы А рассмотрим действительную функцию r(x), определенную для ненулевых векторов следующим образом: , (Ax)_i – i-я координата вектора Ах.

. Из определения следует, что и кроме того, r(x) –такое наименьшее значение , что .

Очевидно, что r(x) инвариантна относительна замены x на , поэтому в дальнейшем можно рассматривать замкнутое множество , такое .

Однако, r(x) может иметь разрывы в точках, где координата x обращается в 0, поэтому рассмотрим множество векторов и обозначим . По лемме № 1 каждый вектор из N будет положительным, а поэтому т.е. для .

Обозначим через наибольшее число, для которого , . – спектральный радиус матрицы А . Если Можно показать, что существует вектор y, что .

Замечание. Могут существовать и другие векторы в L для которых r(x) принимает значение r, поэтому любой такой вектор называется экстремальным для матрицы А (Az=rz).