Реферат: Матричный анализ
Если f(x)=ln x
f(1)=0 f’(1)=1
f(2)=ln 2 f’(2)=0.5 f’’(2)=-0.25
4 . Простые матрицы.
Пусть матрица , так как С алгебраически замкнутое поле, то характеристический многочлен
, где
, ki – алгебраическая кратность корня
.
Обозначим множество векторов удовлетворяющих собственному значению - подпространство,
, где r – ранг матрицы
.
Теорема. Если квадратная матрица А имеет собственное значение , а матрица
имеет
, то
имеет кратность
.
DF . Размерность называется геометрической кратностью собственного значения
.
В свете этого определения теорема переформулируется следующим образом:
Теорема. Алгебраическая кратность собственного значения не меньше его геометрической кратности.
DF . Матрица называется простой, если аглебраическая кратность каждого ее собственного значения совпадает с его геометрической кратностью.
Из линейной алгебры следует, что матрица простая тогда и только тогда, когда
.
Если матрица А простая, тогда существует n линейно независимых собственных векторов x1 , x2 , …,xn таких, что , для
. Запишем это равенство в матричном виде:
, т.е. А – простая тогда и только тогда, когда
и
.
Замечание. Обратим внимание на то, что собственные значения А и А’ совпадают. Действительно, собственные значения для А’ это значения . Таким образом характеристические многочлены матриц совпадают. Размерность
, тогда
. Поэтому, если
- собственное значение матрицы А, то и
является собственным значением матрицы А’, т.е. существует
, что
(*) или
. Транспонируем (*) и получим
(транспонируем это равенство). В этом случае
называют левым собственным вектором матрицы А. Соответственно,
- называют правым собственным подпространством,
- называют левым собственным подпространством.
Рассмотрим следующую конструкцию: если матрица А простая, то существует n линейно независимых собственных векторов x1 , x2 , …, xn и существует n линейно независимых собственных векторов y1 , y2 ,…,yn , где x1 , x2 , …, xn такие, что ,
(1); y1 , y2 ,…,yn такие, что
(2),
.
Запишем равенство (1) в виде (3) Þ что, если А – простая, то существуют матрицы X и Y, что
или
(**).
DF . Множества векторов x1 , x2 , …, xn и y1 , y2 ,…,yn удовлетворяющие условию , т.е.
называются квазиортогональными .
Учитывая равенство (**) и определение делаем вывод: множества левых и правых собственных векторов простой матрицы А квазиортогональны и .
Очень важной для матриц является следующая теорема:
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА. Если А – простая матрица порядка n над полем С и p(x) многочлен из кольца C[x], и x1 , x2 , …, xn и y1 , y2 ,…,yn – множества правых и левых собственных векторов матрицы А, то , а сопутствующая матрица
, где
.
Следствие . Сопутствующие матрицы обладают следующими свойства:
1.
2.
3.