Реферат: Метод конечных разностей или метод сеток

Разностные операторы A 1 , A 2 , A 3 имеют шаблоны состоящие 2х точек и используются при апроксимации первой производной Lu=u’ . Разностные производные n -ого порядка определяются как сеточные функции получаемые путём вычисления первой разностной производной от функции, являющейся разностной производной n-1 порядка, например :

Y xxi =Y xi+1 - Y xi = Y i-1 -2Y i +Y i+1

2

h h

Y xxi = Y xi+1 -Y xi-1 = Y i-2 - 2Y i +Y i+ 2

2

2h 4h

которые используются при апроксимации второй производной. Соответствующие разностные операторы имеют 3х точечный шаблон.

Анологично не представляет труда определить разностные производные от сеточных функций нескольких переменных.

Аппроксомируем нашу задачу с помощью разностных производных. И применим к получившейся сеточной задаче метод Зейделя.

МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ

Одним из способов решения сеточных уравнений является итерационный метод Зейделя.

Пусть нам дана система линейных уравнений :

AU = f

или в развёрнутом виде :

M

a ij U j = f i , i=1,2...M

i=1

Итерационный метод Зейделя в предположении что диагональные элементы матрицы А=( a ij ) отличны от нуля ( a ii <>0 ) записывается в следующем виде :

i (k+1) M (k)

a ij Y j + a ij Y j = f i , i=1,2...M

j=1 j=i+1

(k)

где Y j - j ая компонента итерационного приближения номера k . В качестве начального приближения выбирается произвольный вектор.

Определение ( k +1) -ой итерации начинается с i=1

(k+1) M (k)

a 11 Y 1 = - a 1j Y j +f 1

j=2

(k+1)

Так как a 11 <>0 то отсюда найдём Y 1 . И для i=2 получим :

( k+1 ) (k+1) M (k)

a 22 Y 2 = - a 21 Y 1 - a 2j Y j + f 2

j=3

(k+1) (k+1) (k+1) ( k+1 )

Пусть уже найдены Y 1 , Y 2 ... Y i-1 . Тогда Y i находится из уравнения :

(k+1) i-1 (k+1) M (k)

a ii Y i = - a ij Y j - a ij Y j + f i (*)

j=1 j=i+1

Из формулы (*) видно , что алгоритм метода Зейделя черезвычайно прост. Найденное по формуле (*) значение Y i размещается на месте Y i .

Оценим число арифметических действий, которое требуется для реализации одного итерационного шага. Если все a ij не равны нулю, то вычисления по формуле (*) требуютM-1 операций умножения и одного деления. Поэтому реализация