Реферат: Метод конечных разностей или метод сеток

i=M

U = 0

y=b т.е.U iM =0 (**)

Распишем через разностные производныеUxx + Uyy =0 и учитывая чтоj=M и (**) получим

U iM-1 = U iM+1

Итак краевые условия на у=b имеют вид

U iM+1 = U iM-1

U iM = 0 (4`)

Итого наша задача в разностных производных состоит из уравнения (*) заданного на сетке W и краевых условий (1 ` )-(4 ` ) заданных на границе области G (или на границе сетки W )

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЗЕЙДЕЛЯ

Рассмотрим применение метода Зейделя для нахождения приближенного решения нашей разностной задачи (*) ,(1`) - (4`).

В данном случае неизвестными являются

U ij = U( x i ,y j )

где x i = ih x

y j = jh y

при чём h x = a/N ,

h y = b/M

это есть шаг сетки по x и по у соответственно , а N и М соответственно количество точек разбиения отрезков [ 0 , а] и [0 , b]

Пользуясь результатами предыдущего раздела запишем уравнение

2

D U = f

как разностное уравнение. И упорядочим неизвестные естественным образом по строкам сетки W , начиная с нижней строки.

1 U i-2j - 4 + 4 U i-1j + 6 - 8 + 6 U ij - 4 + 4 U i+1j + 1 U i+2j + 2 U i-1j-1 -

4 4 2 2 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2

h x h x h x h y h x h x h y h y h x h x h y h x h x h y

- 4 + 4 U ij-1 + 2 U i+1j-1 + 2 U i-1j+1 - 4 + 4 U ij+1 + 2 U i+1j+1 + 1 U ij-2 +

2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4

h x h y h y h x h y h x h y h x h y h y h x h y h y

+ 1 U ij+2 = f ij для i=1 ... N-1, j=1 ... M-1

4

h y

и U удовлетворяет краевым условиям (1 ` ) - (4`), так как в каждом уравнении связаны вместе не более 13 неизвестных то в матрице А отличны от нуля не более 13-элементов в строке. В соответствии со вторым разделом перепишем уравнение:

(k+1) (k+1) (k+1) (k+1)

6 - 8 + 6 U ij = - 1 U ij-2 - 2 U i-1j-1 + 4 + 4 U ij-1 -