Реферат: Метод конечных разностей или метод сеток

2

Y i+1 - 2Y i + Y i+1 = y i , где y i =h f i

f i = f(x i )

x i = ih

Для разностной aппроксимациипроизводных U’, U’’, U’’’ можно пользоваться шаблонами с большим числом узлов. Это приводит к разностным уравнениям более высокого порядка.

Анологично определяется разностное уравнение относительно сеточной функции U ij = U(i,j) двух дискретных аргументов. Например пятиточечная разностная схема “крест” для уравнения Пуассона

U xx + U yy = f (x,y)

на сетке W выглядит следующим образом :

U i-1j - 2U ij +U i+1j + U ij-1 - 2U ij +U ij+1 = f ij

2 2

h x h y

где h x - шаг сетки по X

h y - шаг сетки поY

Сеточное уравнение общего вида можно записать так:

N

C ij U j = f i i=0,1...N

j=0

Оно содержит все значения U 0 , U 1 ... U N сеточной функции. Его можно трактовать как рзностное уравнение порядка N равного числу узлов сетки минус единица.

В общем случае под i - можно понимать не только индекс , но и мультииндекс т.е. вектор i = (i 1 ... i p ) с целочисленными компонентами и тогда :

С ij U j =f i i Î W

j Î W

где сумирование происходит по всем узлам сетки W . Если коэффициенты С ij не зависят от i, тоуравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами.

Аппроксимируем нашу задачу т.е. заменим уравнение и краевые условия на соответствующие им сеточные уравнения.

U=U(x,y)

y M b M-1 Uij j j 1 0 1 2 i N-1 N=a x i

Построим на области G сетку W . И зададим на W сеточную функцию U ij =U(x i ,y j ) ,