Реферат: Метод конечных разностей или метод сеток

одного шага осуществляется за 2M - M арифметических действий.

Если отлично от нуля лишь m элементов, а именно эта ситуация имеет место для сеточных эллиптических уравнений, то на реализацию итерационного шага потребуется 2 Mm-M действий т.е. число действий пропорционально числу неизвестных M .

Запишем теперь метод Зейделя в матричной форме. Для этого представим матрицу A в виде суммы диагональной, нижней треугольной и верхней треугольной матриц :

A = D + L + U

где

0 0 . . . 0 0 a 12 a 13 . . . a 1M

a 21 0 0 0 a 23 . . . a 2M

a 31 a 32 0 0 .

L = . U= .

. .

. a M-1M

a M1 a M2 . . . a MM-1 0 0 0

И матрица D - диагональная.

(k) (k) (k)

Обозначим через Y k = ( Y 1 ,Y 2 ... Y M ) вектор k -ого итерационного шага. Пользуясь этими обозначениями запишем метод Зейделя иначе :

( D + L ) Y k+1 + UY k = f , k=0,1...

Приведём эту итерационную схему к каноническому виду двухслойных схем :

( D + L ) (Y k+1 - Y k ) +AY k = f , k=0,1...

Мы рассмотрели так называемый точечный или скалярный метод Зейделя, анологично строится блочный или векторный метод Зейделя для случая когда a ii - есть квадратные матрицы, вообще говоря, различной размерности, а a ij для i<>j - прямоугольные матрицы. В этом случае Y i и f i есть векторы, размерность которых соответствует размерности матрицы a ii .

ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Пусть Y i =Y(i) сеточная функция дискретного аргумента i . Значения сеточной функции Y(i) в свою очередь образуют дискретное множество. На этом множестве можно определять сеточную функцию, приравнивая которую к нулю получаем уравнение относительно сеточной функции Y(i) - сеточное уравнение. Специальным случаем сеточного уравнения является разностное уравнение.

Сеточное уравнение получается при аппроксимации на сетке интегральных и дифференциальных уравнений.

Так дифференциальное уравнение первого порядка :

dU = f (x) , x > 0

dx

можно заменить разностным уравнением первого порядка :

Y i+1 - Y i = f (x i ) , x i = ih, i=0,1...

h

илиY i+1 =Y i +hf (x) , где h - шаг сетки v ={x i =ih, i=0,1,2...} . Искомой функцией является сеточная функция Yi=Y(i) .

При разностной аппроксимации уравнения второго поряда

2

d U = f (x)

2

dx