Реферат: Нечеткие множества в системах управления

Элементы x ÎE , для которых m_A (x )=0,5 называются точками перехода множества A .

Примеры нечетких множеств

Пусть E = {0,1,2,..,10}, M =[0,1]. Нечеткое множество "несколько" можно определить следующим образом: "несколько " = 0,5/3+0,8/4+1/5+1/6+0,8/7+0,5/8; его характеристики: высота = 1 , носитель = {3,4,5,6,7,8}, точки перехода - {3,8}.

Пусть E = { 0,1,2,3,...,n ,...}. Нечеткое множество "малый " можно определить:

"малый" = .

Пусть E = {1,2,3,...,100} и соответствует понятию "возраст ", тогда нечеткое множество "молодой ", может быть определено с помощью

m _{"молодой"} (x ) = .

Нечеткое множество "молодой " на универсальном множестве E' ={Иванов, Петров, Сидоров ,...} задается с помощью функции принадлежности m_{"молодой "} (x ) на E = {1,2,3,..100} (возраст), называемой по отношению к E' функцией совместимости, при этом:

m_{"молодой"} (Сидоров ):= m _{"молодой} "(x ), где x - возраст Сидорова.

Пусть E = {Запорожец, Жигули, Мерседес ,....} - множество марок автомобилей, а E' = [0,¥) - универсальное множество "стоимость ", тогда на E' мы можем определить нечеткие множества типа: "для бедных ", "для среднего класса ", "престижные ", с функциями принадлежности типа:

Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из E в данный момент времени, мы тем самым определим на E' нечеткие множества с этими же названиями.

Так, например, нечеткое множество "для бедных ", заданное на универсальном множестве E = {Запорожец, Жигули, Мерседес ,....} выглядит следующим образом:

Аналогично можно определить Нечеткое множество "скоростные ", "средние ", "тихоходные " и т.д.

О методах построения функций принадлежности нечетких множеств

В приведенных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого x ÎE значение m_A (x ) , либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1.

Например в задаче распознавания лиц можно выделить следующие шкалы:

0	1
x 1	высота лба	низкий	широкий
x 2	профиль носа	курносый	горбатый
x 3	длина носа	короткий	длинный
x 4	разрез глаз	узкие	широкие
x 5	цвет глаз	светлые	темные
x 6	форма подбородка	остроконечный	квадратный
x 7	толщина губ	тонкие	толстые
x 8	цвет лица	темный	светлый
x 9	очертание лица	овальное	квадратное

Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает m_A (x ) Î [0,1], формируя векторную функцию принадлежности { m_A (x₁ ), m_A (x₂ ),... m_A (x₉ )}.

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: "этот человек лысый " или "этот человек не лысый ", тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение m_"лысый" (данного лица). (В этом примере можно действовать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц).

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например, m_A (x_i ) = w_i , i =1,2,...,n , то попарные сравнения можно представить матрицей отношений A = {a_ij }, где a_ij =w_i /w_j (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу A , при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных относительно диагонали a_ij = 1/a_ij , т.е. если один элемент оценивается в a раз сильнее чем другой, то этот последний должен быть в 1/a раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора w , удовлетворяющего уравнению вида А_w = l_max w , где l_max - наибольшее собственное значение матрицы A . Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является положительным.

Операции над нечеткими множествами

Включение .

Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E.

Говорят, что A содержится в B , если "x ÎE m_A (x ) m_B (x ).

Обозначение : A Ì B .

Иногда используют термин "доминирование ", т.е. в случае когда A ÌB , говорят, что B доминирует A .

Равенство .

A и B равны, если "x ÎE m_A (x ) = m_B (x ).

Обозначение : A = B .

Дополнение.

Пусть M = [0,1], A и B - нечеткие множества, заданные на E . A и B дополняют друг друга, если