Реферат: Нечеткие множества в системах управления

На верхней части рисунка заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству A и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A . На нижней - даны , A Ç, A È.

Свойства операций È и Ç.

Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:

- коммутативность;

- ассоциативность;

- идемпотентность;

- дистрибутивность;

A ÈÆ = A , где Æ - пустое множество , т.е. mÆ(x) = 0 ">x ÎE ;

AÇÆ = Æ;

A ÇE = A , где E - универсальное множество;

AÈE = E;

- теоремы де Моргана.

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:

AǹÆ,

Aȹ E.

(Что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств).

Замечание. Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций max и min . В теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок "и ", "или ", "не ".

Один из подходов к операторам пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм .

Треугольной нормой (t -нормой ) называется двуместная действительная функция T :[0,1]´[0,1]®[0,1], удовлетворяющая следующим условиям:

T (0,0)=0; T (m_A , 1) = m_A ; T (1,m_A ) = m_A - ограниченность ;

T(m_A , m_B ) £T(m_C , m_D ), если m_A £m_C , m_B £m_D - монотонность ;

T(m_A , m_B ) = T(m_B , m_A ) - коммутативность ;

T(m_A , T(m_B , m_C ))= T( T(m_A , m_B ), m_C ) - ассоциативность ;

Простым случаем треугольных норм являются:

min (m_A ,m _B )

произведение m_A ×m_B

max (0,m_A +m_B -1).

Треугольной конормой (t -конормой ) называется двуместная действительная функция ^:[0,1]´[0,1]® [0,1], со свойствами:

T (1,1) = 1; T( m_A ,0) = m_A ; T (0, m_A ) = m_A - ограниченность ;

T(m_A , m_B )³ T(m_C , m_D ), если m_A ³m_C , m_B ³m_D - монотонность ;