Реферат: Нечеткие множества в системах управления

Замечание. Здесь приведены два наиболее часто встречающихся определения понятия расстояния. Разумеется, для нечетких множеств можно ввести и другие определения понятия расстояния.

Перейдем к индексам нечеткости или показателям размытости нечетких множеств.

Если объект х обладает свойством R (порождающим нечеткое множество A ) лишь в частной мере, т.е.

0< m_A (x ) <1, то внутренняя неопределенность, двусмысленность объекта х в отношении R проявляется в том, что он, хотя и в разной степени, принадлежит сразу двум противоположным классам: классу объектов, "обладающих свойством R ", и классу объектов, "не обладающих свойством R ". Эта двусмысленность максимальна, когда степени принадлежности объекта обеим классам равны, т.е. m_A (x ) = (x ) = 0,5, и минимальна, когда объект принадлежит только одному классу, т.е. либо m_A (x ) = 1 и (x ) = 0, либо m_A (x ) = 0 и (x ) = 1.

В общем случае показатель размытости нечеткого множества можно определить в виде функционала d(A) со значениями в R (положительная полуось), удовлетворяющего условиям:

d(A) = 0 тогда и только тогда, когда А - обычное множество;

d(A) максимально тогда и только тогда, когда m_A (x ) = 0.5 для всех x ÎE .

d(A)d(B) , если A является заострением B , т.е.

m_A (x )£m_B (x ) при m_B (x ) < 0,5;

m_A (x )³m_B (x ) при m_B (x ) > 0,5;

m_A (x )- любое при m_B (x ) = 0,5.

d(A) = d () - симметричность по отношению к 0,5.

d(AÈB)+d(AÇB) = d(A)+d(B).

Замечание. Приведенная система аксиом при введении конкретных показателей размытости часто используется частично, т.е., например, ограничиваются свойствами P1, P2 и P3 , либо некоторые свойства усиливаются или ослабляются в зависимости от решаемой задачи.

Рассмотрим индексы нечеткости (показатели размытости), которые можно определить, используя понятие расстояния.

Обычное множество, ближайшее к нечеткому

Пусть A - нечеткое множество. Вопрос: какое обычное множество A ÌE является ближайшим к A , т.е. находится на наименьшем евклидовом расстоянии от нечеткого множества A . Таким подмножеством, обозначаемым A , является