Реферат: Нелинейная оптика

Объединяем (20-21) и получаем общее решение:

P'= P' 0 + P' 1 = c(w,E 0 ) E 0 cos wt + c(3w,E 0 ) E 0 cos 3 wt

(22)

где

(23)

Выводы:

Поляризация в сильном световом поле является функцией не только частоты падающего излучения, но и его третьей гармоники. Известно, что заряд, совершающий гармоническое колебание с некоторой частотой, излучает монохроматическую электромагнитную волну той же частоты. Поэтому в рассмотренной задаче появляются две волны: одна с частотой w, другая - с частотой 3w.

Таким образом, в рамках простейшей модели мы показали, каким образом из-за нелинейных свойств среды в сильном световом поле возникают высшие гармоники.

Нелинейное взаимодействие электромагнитных волн

Тензор нелинейной восприимчивости

Рассмотрим нелинейное взаимодействие двух электромагнитных полей. Одно из них, поляризованное вдоль j, описывается выражением:

E j w 1 (t) = Re(E j w 1 exp i w1 t) = 1 / 2 (E j w 1 exp i w1 t + к.с.),

(1)

а второе, поляризованное в направлении k, - выражением

E k w 2 (t) = Re(E k w 2 exp i w2 t)

Если среда нелинейная, наличие этих двух полей может привести к появлению поляризации на частотах nw₁ +mw₂ , где n и m - целые числа. Записав i-компоненту поляризации на частоте w₃ =w₁ +w₂ в виде

P i w 3 = w 1 + w 2 (t) = Re(P i w 3 exp i w3 t),

определим тензор нелинейной восприимчивости (раньше мы использовали c_ijk - тензор линейной восприимчивости) d_ijk ^{w 3 = w 1 + w 2} с помощью следующего соотношения для комплексных амплитуд

(2)

Подобным же образом вводим тензор восприимчивости на разностной частоте d_ijk ^{w 3 = w 1 - w 2}

(3)

где согласно (1) E_k ^{- w 2} =(E_k ^{w 2} )*

Рассмотрение взаимодействия электромагнитных полей начнем с записи уравнения Максвелла, выделив в явном виде поляризацию P:

(4)

Примечание: rot rot E = grad div E - С2 E

Представив поляризацию в виде суммы линейного и нелинейного членов, перепишем первое уравнение.

(5)

Возьмем ротор от обеих частей второго уравнения (4) и подставим rot H из (5) (см. тж. примечание), учитывая, что div E=0:

(6)

Дальнейший анализ проведем для одномерного случая (¶/¶x=¶/¶y=0). За направление распространения берем ось Z. Ограничимся рассмотрением взаимодействия колебаний трех частот и соответствующие поля возьмем в виде бегущих плоских волн:

E i w 1 (z,t) = 1 / 2 [E 1i (z) exp i( w1 t-k 1 z) + к.с.], E k w 2 (z,t) = 1 / 2 [E 2k (z) exp i( w2 t-k 2 z) + к.с.], E j w 3 (z,t) = 1 / 2 [E 3j (z) exp i( w3 t-k 3 z) + к.с.],

(7)

где ijk - декартовы координаты. Заметим, что при P_нел =0 решение уравнения (6) дается выражениями (7) с амплитудами, не зависящими от z. В качестве примера запишем i-компоненту нелинейной поляризации на частоте w₁ =w₃ -w₂ . Согласно (3) и (7) она имеет вид

(7a)