Реферат: Объем фигур вращения правильных многогранников

Для вычисления высоты конуса (Н) рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором гипотенуза ВС – ребро тетраэдра – по условию равна а. Катет АВ – это радиус окружности описанной около равностороннего треугольника со стороной а, следовательно,

АВ

Тогда по теореме Пифагора

;

.

Ответ:

Задача 1.3.

Вычислить объем тела, полученного вращением тетраэдра

относительно оси, проходящей через среднюю линию грани тетраэдра, если ребро тетраэдра равно а.

???????:

В результате вращения образуется тело вращения, состоящее из двух усеченных конусов с общим основанием. Причем, в каждом из них «вырезается» конус при меньшем основании (см. рис.). Таким образом,

;

Найдем R1 из треугольника АВС, где АС – средняя линия грани тетраэдра (АС = по свойству средней линии); АВ = СВ =. Тогда по теореме Пифагора

;

;

Для нахождения R2 через вершину N основания тетраэдра проведем прямую ND параллельную СК. . Четырехугольник NDCK – параллелограмм (так как стороны попарно параллельны), следовательно, треугольник DNA равносторонний со стороной . Тогда

; .

Таким образом, окончательно получаем:

Ответ:

ГЕКСАЭДР (Куб)

Задача 2.1.

Вычислить объем тела, полученного вращением куба относительно оси, проходящей через противоположные вершины, если ребро куба равно а.

Решение:

В результате вращения образуется тело, состоящее из двух конусов и однополостного гиперболоида (см. рис.).

Так как RВ = RН = R, то

.