Реферат: Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета
4. Группы геометрических преобразований. Группы вращений, подобий, гомотетий с заданным общим центром, параллельных переносов.
5. Матричные группы. Укажем на две важнейшие матричные группы:
GL n (R ) - полная линейная группа (группа обратимых матриц),
SL n (R ) - специальная линейная группа
(группа матриц с единичным определителем),
30 . Арифметика группы: обратные элементы, степени с целым показателем.
При описании таблицы Кэли группы симметрий правильного треугольника мы использовали так называемые арифметические свойства элементов группы. Отметим важнейшие из них в следующей теореме.
Теорема. Пусть (G ,×) - группа . Тогда для ее элементов справедливы равенства :
(а) (xy )(zt ) = x (y (zt ) = ((xy )z )t ;
(б) (xy )-1 = y -1 x -1 ;
(в) (xp )q = xpq ; xp xq = xp+q для любых целых p , q .
Доказательство. Проверим только пункт (б). Имеем:
(xy )(y -1 x -1 ) = x (yy -1 )x -1 = x (1)x -1 = 1,
(y -1 x -1 )(xy ) = y -1 (x -1 x )y = y -1 (1)y = 1;
откуда и получаем требуемое утверждение. ÿ
40 . Решение в группах линейных уравнений. В качестве применения простейших свойств приведем следующий простой результат.
Теорема. В произвольной мультипликативной группе G однозначно разрешимо каждое из уравнений :
ax = b , ya = b , где a , b - фиксированные элементы группы .
Доказательство. Допустим, что элемент g удовлетворяет равенству ag = b . Тогда умножая обе части равенства слева на элемент обратный к g , получим
a -1 (ag ) = a -1 b , откуда находим g = a -1 b . Легко проверить, что элемент a -1 b является решением уравнения ax = b , т.е. справедливо равенство a (a -1 b ) = b .
Аналогично доказывается разрешимость второго уравнения. ÿ
Примеры . 1. Решить уравнение (12)x = (13) в группе подстановок S 3 .
Имеем: x = (12)(13) = (123).
2. Решить уравнение r x = a в группе симметрий правильного треугольника.
Имеем: x = r -1 a = g , поскольку s a является отражением и
C(s a ) = (Cs )a = Ba = C.
3. Решить уравнение X = в группе GL 2 (R) .
Имеем:
X = ==.
2. Кольца и поля; примеры и простейшие свойства элементов
10 . Определение кольца и поля.
Определение. Непустое множество A, на котором заданы операции сложения и умножения, называется кольцом , если выполнены следующие два условия:
а) (A, +) - абелева группа;
б) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е. для любых элементов x , y , z из A выполнены равенства: (x + y )z = xz + yz ; x (y + z ) = xy + xz .
Определение. Кольцо называется коммутативным , если операция умножения в нем коммутативна; кольцо называется ассоциативным , если операция умножения в нем ассоциативна. Кольцо называется кольцом с единицей , если оно обладает нейтральным элементом относительно умножения.