Реферат: Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета

4. Группы геометрических преобразований. Группы вращений, подобий, гомотетий с заданным общим центром, параллельных переносов.

5. Матричные группы. Укажем на две важнейшие матричные группы:

GL n (R ) - полная линейная группа (группа обратимых матриц),

SL n (R ) - специальная линейная группа

(группа матриц с единичным определителем),

30 . Арифметика группы: обратные элементы, степени с целым показателем.

При описании таблицы Кэли группы симметрий правильного треугольника мы использовали так называемые арифметические свойства элементов группы. Отметим важнейшие из них в следующей теореме.

Теорема. Пусть (G ,×) - группа . Тогда для ее элементов справедливы равенства :

(а) (xy )(zt ) = x (y (zt ) = ((xy )z )t ;

(б) (xy )-1 = y -1 x -1 ;

(в) (xp )q = xpq ; xp xq = xp+q для любых целых p , q .

Доказательство. Проверим только пункт (б). Имеем:

(xy )(y -1 x -1 ) = x (yy -1 )x -1 = x (1)x -1 = 1,

(y -1 x -1 )(xy ) = y -1 (x -1 x )y = y -1 (1)y = 1;

откуда и получаем требуемое утверждение. ÿ

40 . Решение в группах линейных уравнений. В качестве применения простейших свойств приведем следующий простой результат.

Теорема. В произвольной мультипликативной группе G однозначно разрешимо каждое из уравнений :

ax = b , ya = b , где a , b - фиксированные элементы группы .

Доказательство. Допустим, что элемент g удовлетворяет равенству ag = b . Тогда умножая обе части равенства слева на элемент обратный к g , получим

a -1 (ag ) = a -1 b , откуда находим g = a -1 b . Легко проверить, что элемент a -1 b является решением уравнения ax = b , т.е. справедливо равенство a (a -1 b ) = b .

Аналогично доказывается разрешимость второго уравнения. ÿ

Примеры . 1. Решить уравнение (12)x = (13) в группе подстановок S 3 .

Имеем: x = (12)(13) = (123).

2. Решить уравнение r x = a в группе симметрий правильного треугольника.

Имеем: x = r -1 a = g , поскольку s a является отражением и

C(s a ) = (Cs )a = Ba = C.

3. Решить уравнение X = в группе GL 2 (R) .

Имеем:

X = ==.

2. Кольца и поля; примеры и простейшие свойства элементов

10 . Определение кольца и поля.

Определение. Непустое множество A, на котором заданы операции сложения и умножения, называется кольцом , если выполнены следующие два условия:

а) (A, +) - абелева группа;

б) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е. для любых элементов x , y , z из A выполнены равенства: (x + y )z = xz + yz ; x (y + z ) = xy + xz .

Определение. Кольцо называется коммутативным , если операция умножения в нем коммутативна; кольцо называется ассоциативным , если операция умножения в нем ассоциативна. Кольцо называется кольцом с единицей , если оно обладает нейтральным элементом относительно умножения.

К-во Просмотров: 342
Бесплатно скачать Реферат: Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета