Реферат: Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета
Заметим, что линейная оболочка системы векторов является линейным подпространством.
Говорят, что вектор v линейно выражается через систему E , если v Î L(E ).
Отметим простейшие свойства линейных оболочек:
(а) Если W - подпространство в V, E ÍW , то L(E ) ÍW ;
(б) Линейная оболочка L(E ) совпадает с пересечением всех линейных подпространств, содержащих систему E ;
(в) L(E ÈG ) = L(E ) + L(G ), где сумма подпространств U и W определяется равенством U + W := { u + w ½ u Î U , w Î W }.
20 . Линейно независимые системы.
Линейная комбинация векторов называется тривиальной , если все ее коэффициенты равны 0. Значение тривиальной линейной комбинации равно 0.
Определение. Система векторовназывается линейно независимой , если всякая ее нетривиальная линейная комбинация отлична от нуля.
Заметим, что для доказательства линейной независимости системы достаточно приравнять к нулю произвольную ее линейную комбинацию и вывести из этого равенство нулю всех ее коэффициентов.
Кроме того, система векторов является линейно зависимой , если некоторая ее нетривиальная линейная комбинация равна 0.
Нам потребуются в дальнейшем следующие две леммы, которые мы приведем без доказательства.
Лемма 1. Если система E линейно независима , а система E Ès (полученная присоединением вектора s к системе E ) линейно зависима , то s линейно выражается через E .
Лемма 2 (основная лемма о линейной зависимости).
“Большая “ система линейно зависима , если она линейно выражается через “маленькую “.
30 . Базис линейного пространства.
Определение 1. Система E называется базисом линейного пространства V (обозначение B (V)), если выполнены условия:
(а) E линейно независима;
(б) V = L(E ), т.е. всякий вектор пространства V линейно выражается через E .
Наряду с данным определением можно привести и другие эквивалентные определения.
Определение 2. Максимальная линейно независимая система E называется базисом линейного пространства V.
Определение 3. Система E называется базисом линейного пространства V, если всякий вектор пространства V однозначно записывается в виде линейной комбинации векторов системы E .
Заметим, что указанные определения равносильны.
40 . Размерность линейного пространства.
Определение . Линейное пространство называется конечномерным , если оно обладает конечным базисом.
Определение . Число элементов в каком-нибудь базисе линейного пространства V называется его размерностью ; обозначение dimV. Нулевое пространство имеет по определению пустой базис и нулевую размерность.
Отметим прежде всего теорему о корректности определения размерности.
Теорема. Всякие два базиса одного конечномерного пространства содержат одинаковое число векторов .
Доказательство. Пусть E и G - два базиса пространства V. Эти системы векторов линейно эквивалентны, т.е. они линейно выражаются друг через друга. Если бы одна система была “большой”, а другая “маленькой”, то “большая” система оказалась бы линейно зависимой в силу основной леммы о линейной зависимости, значит, обе они содержат одинаковое число векторов. ÿ