Реферат: Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета

Доказательство. (а) Имеем: 0×x = (0 + 0)×x = 0×x + 0×x , откуда0×x = 0. Аналогично проверяется и второе равенство x ×0 = 0.

(б) Имеем: 0 = x ×0 = x ×(y + (-y )) = x ×y +x ×(-y ), откуда x ×(-y ) = -(x ×y ).

(в) Имеем: (x - y )z = (x + (- y ))z = x ×z + (-y )×z = x ×z - y ×z . ÿ

Обозначение. := a ×b ^-1 , если a , b - элементы поля, причем b ¹ 0.

Теорема. В поле справедливы обычные правила работы с дробями :

(а) основное свойство дроби : ("c ¹0) ;

(б) правила сложения дробей : , ;

(в) правило умножения дробей : ;

(г), если ab ¹ 0;

в частности , справедливо известное правило деления дробей .

Доказательство. (а) Действительно, = (ac )×(bc )^-1 = acc ^-1 b = a ×b ^-1 = .

(б) Имеем: = (a + c )×b ^-1 = a ×b ^-1 + c ×b ^-1 = . И далее на основании уже доказанных свойств получаем .

Аналогично проверяются и два оставшихся пункта. ÿ

3. Арифметические функции: t (n ), s (n ), j (n ).

1⁰ . Полная мультипликативность.

Определение. Числовой (арифметической ) функцией называется функция, определенная на множестве Z₊ целых положительных чисел и принимающая комплексные значения.

Числовая функция q называется вполне мультипликативной , если выполнены условия:

(1) ($x ) q(x )¹0,

(2) для любых взаимно простых чисел x и y

q(xy )= q(x ) q(y ).

Заметим, что непосредственно из определения вытекает равенство

q(1)=1.

В самом деле, q(1)¹0, так как иначе данная функция q была бы нулевой; q(1)= q(1×1)= q(1) q(1), следовательно, q(1)=1.

Легко проверить, что каждая из следующих функций

q(x )=1, q(x )= x , q(x )= x ^-1 ,

вполне мультипликативна.

Следующая теорема позволяет существенно расширить запас вполне мультипликативных функций.

Теорема . Произведение вполне мультипликативных функций является вполне мультипликативной функцией .

Доказательство. Пусть числа x и y взаимно просты, а функции f и g вполне мультипликативны. Тогда, обозначив через h произведение функций f и g , имеем:

h (xy )=f (xy )g (xy )=f (x )f (y )g (x )g (y )=[f (x )g (x )][f (y )g (y )]=

=h (x )h (y ).

Следствие . Для любого целого k функция q(x )= x^k вполне мультипликативна .

2⁰ . Сумма значений функции по всем делителям аргумента.

Введем в рассмотрение, наряду с функцией q(x ), функцию

,