Реферат: Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета
Легко проверить, что элемент b , о котором идет речь находится однозначно, поэтому он обозначается a -1 и называется элементом обратным к a .
Важнейшим типом колец являются поля.
Определение . Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей называется полем , если в нем всякий ненулевой элемент обратим.
20 . Примеры колец: числовые кольца, кольца многочленов, кольца последовательностей и функций, кольца матриц, кольца вычетов.
Если группы появляются, прежде всего, как группы обратимых отображений, то возникновение понятия кольца связано с изучением важнейших числовых систем и многочленов.
1. Числовые кольца (кольца, элементы которых являются комплексными числами):
а) (классические числовые кольца) кольцо целых чисел Z , кольцо рациональных чисел Q , кольцо действительных чисел R , кольцо комплексных чисел C .
б) кольцо Z [i ] целых гауссовых чисел вида a + bi , где a , b - целые числа;
г) кольцо Z [
] действительных чисел вида a + b с целыми a , b .
2. Кольца многочленов R [x ], Q [x ], Z [x ], C [x ] от одной переменной x с действительными, рациональными, целыми и комплексными коэффициентами.
3. Кольца последовательностей и функций . Среди этих колец выделим особо:
а) кольцо последовательностей действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения последовательностей;
б) кольцо ограниченных последовательностей действительных чисел;
в) кольцо фундаментальных последовательностей;
г) кольцо непрерывных действительно-значных функций на отрезке [0 , 1].
4. Кольца матриц . Среди разнообразных матричных колец выделим следующие:
а) полное матричное кольцо M n (A) над кольцом A или кольцо квадратных матриц порядка n с элементами из кольца A, в качестве кольца коэффициентов A можно рассматривать, в частности, любое числовое кольцо;
б) кольцо D n (A) диагональных матриц, т.е. матриц, у которых вне главной диагонали находятся только нулевые элементы;
в) кольцо TN n (A) нильтреугольных матриц, т.е. треугольных матриц с нулями на главной диагонали.
Кольца M n и TN n являются некоммутативными, в кольце TN n нет единицы.
30 . Примеры полей.
1. Числовые поля .Q , R , C , Q [i ], Q [] .
2. Поля дробно-рациональных функций : Q (x ), R (x ), C (x ). Так, элементами множества R (x ) являются всевозможные функции вида 
, где f (x ), g (x ) - многочлены с действительными коэффициентами, причем многочлен g (x ) ненулевой. Операции сложения и умножения дробей обычные.
3. Поле вычетов Z p по простому модулю p . Например, для p =7 утверждение получается из следующих равенств в кольце Z 7 : 2Ä4 = 3Ä5 = 6Ä6 = 1.
40 . Арифметика колец и полей. Важнейшие арифметические свойства элементов колец и полей приведены в теоремах.
Теорема. Для любых элементов кольца справедливы равенства :
(а) 0×x = x ×0 = 0;
(б) правило знаков : x (- y ) = (-x )y = - (xy );
(в) (дистрибутивность умножения относительно разности )
(x - y )z = xz - yz , x (y - z ) = xy - xz ;